Ограничение мобильности людей при пандемии
В работе https://habr.com/ru/post/493034/ анализируется математическая модель процесса распространения пандемии нового коронавируса. Существующие математические модели на основе дифференциальных уравнений дают решение вида
i(t)=a/(b+c*EXP(d-beta*t)) (1)
Уравнение (1) является во многом эмпирическим и позволяет путем оптимального подбора коэффициентов приблизить график переменной i(t) к реальному графику числа заболевших в той или иной стране или городе.
Нас здесь интересует коэффициент, который зависит от мер по ограничению мобильности (ОМ) людей в течение пандемии. Это и ношение масок, и самоизоляция, и ограничение зарубежных поездок, и ограничения посещения ночных клубов - все, что ограничивает контакты людей и снижает количество возможных заражений.
Будем считать, что этот коэффициент ОМ может изменяться от нуля (нет никаких мер, люди ничем не ограничены, короче все, что было год назад) и стремится к бесконечности (все сидят по домам, никто никуда не ходит). Ну, реально коэффициент ОМ достигает не бесконечности, но очень большого числа.
При этом надо понимать,. Что i(t) - интеграл, сумма всех заражений за период, она уменьшаться не может, но в случае применения максимальных мер ОМ (стремится к бесконечности), функция эта стремится к константе - полному числу всех зараженных за период при условии, что более заражений нет. Её график представляет собой прямую, параллельную оси времени. Понятно, что в реальной ситуации полной параллельности достичь невозможно, но если будет очень небольшой угол наклона (тангенс этого угла - количество заражений в единицу времени), то это означает практический конец пандемии.
Исходя из вышесказанного, коэффициент a и b на роль коэффициента ОМ отпадают, поскольку не соответствуют перечисленным условиям.
Коэффициент d при неограниченном увеличении приводит к такому же неограниченному увеличению произведения c*EXP и стремлению i(t) к нулю, чего в нашем случае не происходит.
Остается только коэффициент beta.
В электротехнике при анализе переходных процессов этот множитель рассматривается, как
beta= 1/tau
где tau - постоянная времени процесса.
То есть, за время tau начальное значение функции по пути к состоянию покоя изменится в 2.72 раза. А за время, примерно три tau (3* tau) процесс почти завершится. В нашем случае под процессом понимается экспоненциальный участок графика. Его окончание соответствует загибу S-образной кривой заражения и переходу к линейному участку плато.
Поскольку у нас ОМ=1/tau (с некоторым коэффициентом размерности, но здесь это несущественно), то ОМ=0 означает бесконечное время для завершения переходного процесса.
А ОМ = бесконечность означает, что процесс закончится мгновенно.
На практике это означает, что любой увеличение ОМ сокращает время прекращения экспоненциального роста и перехода на плато (линейный рост с небольшой интенсивностью).
Ношение ли масок, перчаток, непосещение кинотеатров, удаленная работа - все, что сокращает мобильность людей в смысле уменьшения контактов - сокращает время экспоненциального роста и приближает время перехода на плато.
При этом тут нет никакого кумулятивного эффекта. Даже один человек, надевая маску при выходе на улицу, увеличивает ОМ и уменьшает tau независимо от других людей. Здесь все непрерывно, нет никаких квантов.
Напротив, отказ от каких-либо мер ограничения мобильности (коэффициент ОМ стремится к нулю) приводит к неограниченному увеличению времени переходного процесса, то есть на практике, выход на плато существенно задержится.
i(t)=a/(b+c*EXP(d-beta*t)) (1)
Уравнение (1) является во многом эмпирическим и позволяет путем оптимального подбора коэффициентов приблизить график переменной i(t) к реальному графику числа заболевших в той или иной стране или городе.
Нас здесь интересует коэффициент, который зависит от мер по ограничению мобильности (ОМ) людей в течение пандемии. Это и ношение масок, и самоизоляция, и ограничение зарубежных поездок, и ограничения посещения ночных клубов - все, что ограничивает контакты людей и снижает количество возможных заражений.
Будем считать, что этот коэффициент ОМ может изменяться от нуля (нет никаких мер, люди ничем не ограничены, короче все, что было год назад) и стремится к бесконечности (все сидят по домам, никто никуда не ходит). Ну, реально коэффициент ОМ достигает не бесконечности, но очень большого числа.
При этом надо понимать,. Что i(t) - интеграл, сумма всех заражений за период, она уменьшаться не может, но в случае применения максимальных мер ОМ (стремится к бесконечности), функция эта стремится к константе - полному числу всех зараженных за период при условии, что более заражений нет. Её график представляет собой прямую, параллельную оси времени. Понятно, что в реальной ситуации полной параллельности достичь невозможно, но если будет очень небольшой угол наклона (тангенс этого угла - количество заражений в единицу времени), то это означает практический конец пандемии.
Исходя из вышесказанного, коэффициент a и b на роль коэффициента ОМ отпадают, поскольку не соответствуют перечисленным условиям.
Коэффициент d при неограниченном увеличении приводит к такому же неограниченному увеличению произведения c*EXP и стремлению i(t) к нулю, чего в нашем случае не происходит.
Остается только коэффициент beta.
В электротехнике при анализе переходных процессов этот множитель рассматривается, как
beta= 1/tau
где tau - постоянная времени процесса.
То есть, за время tau начальное значение функции по пути к состоянию покоя изменится в 2.72 раза. А за время, примерно три tau (3* tau) процесс почти завершится. В нашем случае под процессом понимается экспоненциальный участок графика. Его окончание соответствует загибу S-образной кривой заражения и переходу к линейному участку плато.
Поскольку у нас ОМ=1/tau (с некоторым коэффициентом размерности, но здесь это несущественно), то ОМ=0 означает бесконечное время для завершения переходного процесса.
А ОМ = бесконечность означает, что процесс закончится мгновенно.
На практике это означает, что любой увеличение ОМ сокращает время прекращения экспоненциального роста и перехода на плато (линейный рост с небольшой интенсивностью).
Ношение ли масок, перчаток, непосещение кинотеатров, удаленная работа - все, что сокращает мобильность людей в смысле уменьшения контактов - сокращает время экспоненциального роста и приближает время перехода на плато.
При этом тут нет никакого кумулятивного эффекта. Даже один человек, надевая маску при выходе на улицу, увеличивает ОМ и уменьшает tau независимо от других людей. Здесь все непрерывно, нет никаких квантов.
Напротив, отказ от каких-либо мер ограничения мобильности (коэффициент ОМ стремится к нулю) приводит к неограниченному увеличению времени переходного процесса, то есть на практике, выход на плато существенно задержится.