Математики есть?
Посмотрел лекцию
https://www.youtube.com/watch?v=bq3spJfDE38
Дальше гуглил «ramanujan summation odd numbers». Нашел 100500 решений. В них общее - это ответ «1/6». Смысл всех этих решений похоже в том чтобы оправдать очевидную (и неясно чем обусловленную) истину - что сумма четных чисел плюс сумма нечетных - равно сумме натуральных.
S_N = Сум{1+2+3+4...} = Дзета(-1) = -1/12
S_even = Сум{2+4+6...} = 2*S_N = -1/6
S_1 = Сум{1+1+1...} = Дзета(0) = -1/2 (уже значение этой суммы кое в каких источниках плавает)
С этими суммами относительно понятно.
Дальше если оно линейно (что не факт, но оно почти всё всегда линейно) дальше считаем
S_odd = S_even + (-1)*S_1 = 1/3
Сумма сумм четных и нечетных чисел есть сумма ряда 3+5+7+... т.е. сумма ряда нечетных чисел без единички в начале, и в общем-то никто не обещал что эта сумма равна «сумме всех натуральных чисел». И единичку в начало тоже не пытайтесь подставлять, всё равно - это совсем другой ряд.
Стоит учесть, что даже безобидное втыкание в ряд нулей в начале - это уже не всегда работающий ход, т.к. сумма такого может не пережить. На расходящихся рядах здравый смысл не работает. Иначе рассмотрим такой софизм. Если взять ряд 1+1+1+1+1... с суммой S_1, воткнуть в него 0 в начало, то выйдет 0+1+1+1+1+1... Далее если прибавить ряд 1+0+0+0.... который очевидно что сходится сразу к 1, то выйдет опять же 1+1+1+1+1... с суммой S1 и получаем что S1 + 1 = S1. На самом же деле сумма ряда 0+1+1+1+1+1.. и ряда 1+1+1+1+1... совершенно не обязаны быть равны.
Тем более нельзя переставлять элементы местами или ещё как-то перетасовывать ряды. Т.е. 1+2+3+4.. разбивается на ряды 1+0+3+0.. и 0+2+0+4.... кои никоим образом не ряды четных и нечетных чисел.