Транспортні парадокси: парадокс Браєса
Сьогоднішній допис буде останнім у серії про найбільші транспортні парадокси міст, збудованих людством. Хоча останній парадокс належить не лише до галузі транспорту; із ним знайомі кібернетики, біологи та багато інших науковців.
Парадокс Браєса.
Щоб його проілюструвати, потрібно «познайомити» наших знайомих із попередніх дописів, Петра і Васю.
[Це вже не тягне на лірику - тут все серйозно.]
Мер-будівельник зі згадуваного нами раніше міста не полишав боротьби із заторами. Він розвивав вуличну мережу, будував розв’язки і підземні переходи. І ось одного чудового дня його погляд впав на район вулиць 3-ї Інженерів і 5-ї Будівельників. Третя Інженерів стояла у заторах, бо її вісім смуг без світлофорів притягували автомобілістів із половини міста просто до центру. Розташована поруч П’ята Будівельників завдяки трамвайній лінії витримувала ту кількість авто, які бажали скористатися нею. Вона вела у центр зручнішим шляхом, аніж Третя Інженерів, при цьому - проходячи по дотичній до неї.
«Чому б не з’єднати вулиці коротким проїздом, знявши частину навантаження із першої вулиці і передавши це навантаження на другу?» Логічне запитання. Але недарма у мові ця конструкція передбачає запитання «Чому … не?» - перш ніж бігти виправляти несправедливість, слід переконатися, чому це не було зроблено раніше.
За рік-два міст між вулицями було споруджено. І тут настав колапс: вісім смуг 3-ї Інженерів встали у щільний затор, заодно заваливши автомобілями частину 5-ї Будівельників. Неначе новозбудована ланка дороги прокляла усі вулиці, пов’язані з нею. Влада не розуміла, у чому прикол, аж раптом доля усміхнулася нашому уявному місту. Бетон, з якого було збудовано міст нової дороги, виявився бракованим.
Спочатку кілька тріщин, потім кілька відпалих шматків бетону, а згодом місцева автодорожня служба була вимушена закрити міст. І тут сталося диво.
Затори зникли. Закриття мосту повернуло усе до початкового стану, 5-та Будівельників змогла спокійно існувати, 3-тя Інженерів - як і раніше страждала від заторів у центрі, але решта вулиці звільнилась.
Питання «А як так-то?» було ледь не найактуальнішим у місті наступні кілька тижнів, але здогадатися про те, що треба робити, було неважко. Міст реконструювали у економному варіанті, лише для проїзду громадського транспорту і екстрених служб. А до мера вперше за час його каденції дійшло, що розв’язки і додаткові смуги не завжди рятують від автомобільних заторів.
Парадокс Браєса (Braess`s paradox), як стверджується, сформульований у 60-х роках німецьким математиком Дітріхом Браєсом. Він стосується не лише транспорту, а й будь-якого мережевого зв’язку. Його формулювання звучить наступним чином:
«Додавання додаткових потужностей (вузлів і ланок) у мережу за умови, що об’єкти, які рухаються мережею, обирають свій шлях всередині неї самостійно і незалежно, може призвести до зниження загальної продуктивності мережі».
Простіше кажучи, роботу мережі можна погіршити її розбудовою. Або навпаки; її можна покращити, частково зламавши її =)
Щодо дописів про інші два парадокси доводилося чути, що, мовляв, вони не мають доказів під собою і це все лише філософські твердження. Досвід десятків міст світу, звичайно, нічого не важить для українських автофілів - звісно, у західній Європі інші закони логіки, фізики і геометрії. Однак у парадоксу Браєса, сформульованого математиком, є математичне доведення.
Нехай чотирьом тисячам автомобілів потрібно потрапити з точки А в точку Б (див. схему).
Шляхів між точками - два, через пункти 1 і 2. Час проїзду плеча А-1 залежить від кількості машин, які їдуть через нього, формула часу - N/100 (де N - кількість авто), плече 1-Б завжди можна проїхати за 45 хвилин. Дорога через пункт 2 - навпаки. Поки дороги не сполучаються одна з одною, шляхи рівнозначні - рано чи пізно встановиться рівновага, по 2 000 машин на кожну дорогу.
2000/100 = 20 хвилин на проїзд «вузьких ланок» на обох дорогах, плюс 45 хвилин на решту доріг. Разом шлях складатиме 65 хвилин для всіх користувачів.
Дана мережа доріг принципово не лишає вибору для автомобілістів. Тому було збудовано тунель між точками 1 і 2, до того ж дуже короткий - проїзд між двома вузлами займає менше хвилини, цим часом можна знехтувати. Яка ж тепер ситуація склалася у нашій моделі?
Шлях А-1 займає максимум 4000/100 = 40 хвилин, шлях А-2 - завжди 45. «До того ж не факт, що усі поїдуть саме цією дорогою» - думає кожен водій. Результат - усі автомобілісти скористалися дорогою А-1. Із точки 1 до Б можна потрапити або через 1-Б (45 хвилин), або через тунель 1-2 і дорогу 2-Б (менше хвилини у тунелі і максимум 4000/100 = 40 хвилин на 2-Б). Водії, як індивідууми, що діють раціонально, оберуть тунель і швидший шлях.
Здавалося б, у середовищі, де вибір є допустимим, водії мають мінімізувати свій час, проведений у дорозі. Вони й зробили це; старий шлях займає 4000/100+45 = 85 хвилин, шлях порожніми дорогами А-2 і 1-Б - цілих 90. Але тепер дорога займає 4000/100+4000/100 = 80 хвилин, і це не рахуючи хвилини у тунелі. Шлях зріс на 15 хвилин, і ці 15 хвилин є платою за гру у права автомобілістів.
Єдиний шлях виправити ситуацію, що склалася - наплювати на права і бажання користувачів і закрити новозбудований тунель, повернувши систему до статусу-кво. Це можна порівняти із кількома тисячами кістянок доміно, які завалюються через падіння ключової кістянки. Знайдіть і витягніть її - і ваш шедевр з доміно вціліє.
На громадський транспорт цей парадокс, до речі, не діє. Водій автобусу, а, тим паче, трамваю, не може вільно обрати свій шлях - у нього є маршрут, з якого він не може зійти.
Трохи елегантніша версія схеми.
У житті даний парадокс регулярно зустрічається у розвитку вуличної мережі міст. Непоганий приклад - нещодавнє дослідження компанії А+С щодо центру Києва і вулиці Ярославів Вал. Згідно його результатів, закриття сорока метрів дороги (непогана, все ж, аналогія з однією кістянкою доміно) дозволяє відчутно зменшити сумарний час проїзду вулиць Старого Києва і Кудрявки.
Втім, дане закриття мало допомагає меті дослідження - перетворенню вулиці на зручний пішохідний напрям (сорок метрів пішохідної вулиці відверто не вражають).
Із масштабнішого можна згадати місто Сан-Франциско, випадок із демонтажем автостради Ембаркадеро. Збудована у 60-х, автомобільна естакада уздовж набережної поєднувала місто із мостом через затоку.
Затори, завдяки їй, стали звичним явищем для центру Сан-Франциско. Землетрус "Лома Прієта" 1989 року зруйнував частину естакади. Спочатку мерія планувала реконструювати естакаду, збільшивши кількість смуг (про постулат Льюіса-Моґріджа автори цього прожекту явно теж не чули). Однак громадськість наполягла на знесенні естакади (все-таки, Ембаркадеро - історичний центр міста. Шпиль на фото поруч із дорогою - місцева "Ратуша"). Міст через затоку, що мав ще кілька заїздів, спокійно продовжив функціонувати, а Ембаркадеро частково перетворена на трамвайно-пішохідну вулицю.
Все їде, як не дивно.
[Парадокс Браєса зустрічається всюди, де існує певний мережевий зв’язок.]
За непродуманого додавання серверів у локальну комп’ютерну мережу загальний час передачі інформації і швидкодії може різко зрости. Пакети інформації починають обирати надто довгі шляхи; це можна вирішити відімкненням певних серверів.
Варикозне розширення вен не лікують відповідним розширенням решти судин; часто допомагає виважене видалення декількох варикозних судин.
Повертаючись до теми містопланування. Коли інженери і чиновники планують той чи інший інфраструктурний проект, їхнім обов’язком є оцінка наслідків втілення цього проекту. І якщо він загрожує «вибуховими» наслідками - на ньому доведеться поставити хрест.
Наостанок я хочу подякувати Дмитрові Беспалову за те, що він порадив мені тему транспортних парадоксів. Ця тема скінчилась, однак ми з вами завжди йдемо далі.