Начала физики. 11. Малые колебания, их затухание и явление резонанса.
На этом уроке мы обсудим малые колебания. Малые в том смысле, что сила их возбуждающая линейна (первой степени) по координате смещения колебательной системы от точки ее равновесия. Ибо только в этом случае решения уравнений движения колебательной системы описываются простейшими гармоническими функциями. Рассмотрим как свободные колебания, так и колебания при наличии диссипативных процессов (трения). Рассморим также резонансные ситуации, в которых на колебательную систему действует внешняя сила с частотой слабо отличающейся от собственной частоты колебательной системы.
1. Малые колебания.
Для начала рассмотрим колебания математического маятника. Рассмотрение ведем в полярных (цилиндрических) координатах с центром (осью) в точке подвеса маятника. В этом варианте координата, по которой идет движение маятника есть Lφ, где L - длина маятника. а φ - угол отклонения маятника от вертикали. В этом случае потенциальная энергия маятника U = - mgLcosφ и, следовательно, уравнение его движения
mLd²φ/dt² = - mgsinφ. (1)
В элементарных (известных со школы) функциях это уравнение решения не имеет. Но поскольку мы рассматриваем малые колебания (φ << 1, угол φ измеряется в радианах), то разлагая sinφ в ряд по степеням малого угла φ видим, что sinφ = φ + О(φ³). Вторым слагаемым можно. очевидно. пренебречь (эта процедура называется линеаризацией уравнений движения) и мы видим, что уравнение (1) приобретает вид:
d²φ/dt² = - (g/L)φ (2)
Это уравнение при начальных (при t = 0) условиях φ = φо и dφ/dt = 0 (маятник отклонен на максимальный угол и имеет нулевую скорость) имеет вид:
φ = φо cos(ωоt), (3)
где φо - амплитуда колебаний, а ωо = √(g/L) - собственная частота колебаний маятника, которую мы абсолютно точно определили методом размерностей еще на первом уроке.
В дальнейшем для упрощения записей мы будем изучать малые колебания по одномерной декартовой координате х шарика массы m на пружинке жесткости k:
md²x/dt² = - kx. (4)
В этом случае
x = Acos(ωоt), (5)
где ωо = √(k/m), А - амплитуда колебаний.
2. Затухание колебаний.
Затухание колебаний происходит из-за воздействия на колебательную систему диссипативных сил (трения). Будем считать, что сила трения линейна по скорости:
Fтр = -αdx/dt. (6)
Тогда уравнение малых колебаний принимает вид:
d²х/dt² + (α/m)dx/dt + ωо²x = 0. (7)
Напрямую решение уравнения (7) в форме (5) получить невозможно. Но выход есть. Заметим, что
x = Acos(ωоt) = Re(Aexp(iωоt)),
где i - мнимая единица. Это следует из формулы Эйлера exp(ix) = cos(x) + isin(x). Поэтому будем искать решение приведенного выше уравнения в виде х = Аexp(iωt) и, найдя его, возьмем от него вещественную часть. В итоге исходное дифференциально уравнение (7) превращается в квадратное алгебраическое:
ω² - 2iλω - ωо² = 0, (8),
где λ = α/2m. Решение которого ω = iλ ± √(ωо² - λ²). Подставляя сие в вещественную часть искомого решения, получаем:
х = Аexp(- λt)cos(t√(ωо²-λ²)). (9)
Откуда видны:
а) экспоненциальное затухание амплитуды колебаний от трения с декрементом λ,
б) сами колебания с уменьшенной частотой ω = √(ωо²-λ²). При этом в случае ωо² > λ² мы видим именно затухающие колебания. Но в случае ωо² < λ² (очень сильное трение типа "маятник в плотном киселе") будет иметь место только затухание без каких-либо колебаний.
3. Резонанс.
Резонансные явления возникают в случаях, когда на колебательную систему действует внешняя сила с частотой, близкой к собственной частоте колебаний системы. Будем считать, что такая сила F = fоcos(γt). И не будем рассматривать сам процесс раскачки резонансных колебаний. То есть, будем искать решение в виде установившихся колебаний при t --> ∞. В этом случае решение уравнения движения
d²х/dt² + ωо²x = (fо/m)cos(γt) (10)
будем искать в виде х = Acos(ωоt) + Вcos(γt), где В - амплитуда вынужденных колебаний. В результате получим:
В = fо/m/( ωо² - γ²). (11)
При решении этой задачи мы не ставили начальных условий и потому сам процесс возбуждения резонансных колебаний в решении не видим. Но видим, что в стационарном режиме амплитуда вынужденных резонансных колебаний обратно пропорциональна разности собственной ωо и вынуждающей γ частот.
Формально при γ --> ωо амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Но мы отдаем себе отчет в том, что мы изучаем малые колебания и при γ --> ωо решение (11) перестает быть применимым. В реальности в таком пределе начинают интенсивно проявляться рассмотренные чуть раньше диссипативные эффекты и с учетом этих эффектов решение покажет конечность амплитуды вынужденных колебаний даже в случае γ = ωо.