Начала физики. 10. Фокусы и проказы уравнения Бернулли.
Базовых законов в физике немного. Они как главные боги Олимпа. Но у богов были дети (боги второго эшелона), внуки-полубоги и прочее потомство. И у базовых законов физики есть свои дети и внуки. Одним из них является выведенное на прошлом уроке уравнение Бернулли - аналог закона сохранения энергии в потоках жидкости и существенно дозвуковых течениях газа. Первым достижением которого оказалось объяснение природы подъемной силы крыла дозвукового самолета. Но это лишь малая часть заслуг этого уравнения.
Уравнение Бернулли контролирует еще немало других процессов. Таких, как возбуждение ветровых волн на воде, барханов в пустынях, параллельных ленточных облаков и даже создание таких потрясающих воображение архитектурных ансамблей, как этот:
Обсудим творческие достижения уравнения Бернулли?
1. Уравнение Бернулли и его смысл.
Для течений жидкости и существенно дозвуковых движений газа уравнение Бернулли имеет вид:
v²/2 + p/ρ + U = const, (1)
где v - скорость потока жидкости или газа, p - давление, ρ - плотность, U - потенциал внешних (обычно гравитационных) сил. Все эти величины измеряются вдоль линии тока жидкости или газа. Для приводимых ниже примеров изменения потенциала внешних сил вдоль линий тока будут, очевидно, несущественными. И поэтому мы исключим из рассмотрения эти изменения и будем пользоваться укороченным уравнением Бернулли:
v²/2 + p/ρ = const, (2)
2. Возбуждение ветровых волн на воде.
Мы знаем, что волны на воде возбуждает ветер (плывущие корабли и брошенные в воду камушки не обсуждаем). А ветер скользит над поверхностью воды. Вот и нарисуем эту картинку:
Корпускулярно устроеннный мир полон флуктуаций - очень малых и локальных отклонений параметров систем от состояния равновесия. Возникают и быстро затухают малые флуктуации уровня воды в любом равновесном водоеме при отсутствии ветра. Но если есть ветер, то почему бы ему не отдавать часть своей энергии таким флуктуациям? Тем более, что Бернулли заставляет его делать это.
А именно, из рисунка видно, что случайная флуктуация уровня воды в виде выпуклости ее поверхности ведет к сужению расстояния между линиями тока воздуха в потоке ветра. Малое сужение сечения потока ветра над выпуклостью водной поверхности приводит согласно уравнению Бернулли (2) к малому росту его скорости и, как следствие, к малому падению давления над этой выпуклостью. А давление воды под выпуклостью остается прежним. В результате амплитуда этой флуктуации-выпуклости будет расти из-за превышения давления в воде над давлением в воздухе над выпуклостью воды. Этот эффект называют неустойчивостью Кельвина-Гельмгольца. Именно раскачка этой неустойчивости и приводит к возбуждению ветровых волн.
Источником энергии для роста амплитуды флуктуаций уровня поверхности воды является, очевидно, ветер. Заметим также, что тот же результат получается, если рассматривать течение воды относительно неподвижного воздуха. Только в этом случае легче рассуждать на примере флуктуации в форме выпуклости воздуха в тело движущейся воды.
Возникает, правда, вопрос - а почему при слабом ветре эта неустойчивость не срабатывает? Ответ - дело в поверхностном натяжении на границе раздела воздуха и воду. И суть ответа видна из прилагаемого рисунка:
Конкретные же расчеты при известном из экспериментов коэффициенте поверхностного натяжения на границе раздела вода-воздух показывают, что поверхностное натяжение не дает раскачиваться ветровым волнам (неустойчивости Кельвина-Гельмгольца) при скоростях ветра меньше примерно 7 метров секунду. При больших скоростях ветра на поверхности воды быстро возбуждается поверхностная рябь, перерастающая в зримые волны.
3. Другие проявления неустойчивости Кельвина-Гельмгольца.
Каждый из нас видел хотя бы на картинках барханы и дюны в пустыне. Они образовались тем же механизмом - потоком ветра над изначально гладкой поверхностью песка. Ибо песок, пусть и слабо, но текуч. И песчаная рябь, которую мы видим на мелком дне реки когда заходим в воду с целью искупаться, образовалась тем же способом (движением воды в набегающих на берег волнах).
Иногда мы видим в небе длинные полосы облаков, чередующиеся с не менее длинными полосами чистого неба. А там почему такие структуры возникают? Ведь четкой границы между слоями воздуха с разными скоростями нет. Теория показала, что для раскачки неустойчивости Кельвина-Гельмгольца необязательно иметь тончайшую границу раздела двух разных сред. Достаточно, чтобы профиль скорости даже в одной среде имел точку перегиба (точка, где выпуклость функции профиля скорости меняется на «впуклость»):
4. Классическая колоннада на айсберге.
Осталось объяснить эту картинку:
На ненй виден отколовшийся кусок ледника (айсберг), сползшего по пологому склону Антарктиды в окружающий ее океан и теперь плавающий в этом океане. Как образовалась такая колоннада?
Язык цельного ледника сползал в океан. В силу своей прочности его передний край постепенно углублялся в воду до уровня, заметно превышающего 90% его толщины. Число 90% возникает из простого факта - массовая плотность льда составляет примерно 90% плотности воды. Поэтому примерно 90% массы свободно плавающего айсберга всегда находится под водой. В какой-то момент времени величина действующей на сползший в воду передний край ледника и выталивающей его из воды архимедовой силы стала настолько большой, что ледник надломился и его передний язык в виде айсберга пустился в свобордное плавание.
Но пока надлома ледника не случилось его передний край омывался параллельным берегу течением. И в достаточно длительном по времени процессе такого омывания раскачивающаяся на границе льда и водного течения неустойчивость Кельвина-Гельмгольца смогла сформировать наблюдаемую нами величественную колоннаду. Часть которой оказалась над уровнем моря из-за архимедова всплытия отломившегося от ледника его переднего языка.
Что касается видимой в середине колоннады большой арки, то она была создана, скорее всего, примерно такой же высоты небольшим хребтиком на пляже, вдоль которого сползал ледник.