Начала физики. 1. Библия размерностей.
Измерение - главное действие в любой науке. Измерять - задача экспериментаторов. Вторичным действием в науке является установление связей между измеряемыми величинами в конкретных процессах. Но это - задача теоретиков. Они выводят уравнения, описывающие эти процессы, решают их и, если результаты их решения противоречат результатам экмпериментов, теоретики должны выбрасывать свои теории в мусорную корзину.
Мы с вами пока и не экспериментаторы, и не теоретики. И потому пойдем другим путем. Поскольку знаем размерности величин, определяющих изучаемый процесс. И только на основании этих знаний не выводя никаких уравнений и не решая их получим правильные зависимости между описывающими процесс величинами. Такой подход называют методом размерностей.
В этом уроке мы сначала определим частоту колебаний маятника как функцию его параметров. А затем установим зависимость скорости бега морских волн от их длины. Подчеркиваю - без использования каких-либо уравнений.
1. Определение частоты колебаний математического маятника.
Для этого зададимся вопросом - какие параметры определяют процесс колебаний такого маятника? Сам маятник характеризуется его массой m и длиной l, а причина его колебаний - наличием гравитационного поля Земли (ускорением свободного падения g). Размерность последней величины - см/сек². Из всех этих параметров можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность периода колебаний Т[сек]. Это - корень квадратный из l/g. Тем самым, мы приходим к выводу, что Т ~ √(l/g) и не зависит от массы маятника.
Это - качественно правильный ответ. Количественно же он отличается от правильного на множитель 2π, а именно: Т = 2π√(l/g). Но если бы мы оперировали не понятием периода колебаний, а понятием циклической частоты ω=2π/Т, то получили бы точный количественный результат ω = √(g/l). Этот факт намекает на то, что при работе с колебательными или волновыми процессами нужно использовать не полные временные или пространственные периоды таких процессов, а их 2π-тую часть. Итак, для математического маятника:
Т = 2π√(l/g); ω = √(g/l). (1)
Отметим, что для получения этого результата мы не выводили, не писали и не решали уравнения движения маятника. Обошлись без них. Нам лишь пришлось подумать о том, какие параметры системы и внешних условий определяют изучаемый процесс. Метод, который мы применили для оценки периода (частоты) колебаний маятника называют методом размерностей.
2. Зависимость скорости ветровой волны от ее длины.
Для устойчивого усвоения метода размерностей определим зависимость скорости распространения по морю ветровых волн от их длины. Ветровая волна (возбуждаемая ветром на воде волна) имеет такую структуру:
Какие параметры определяют этот процесс? Ясно, что ускорение свободного падения g - один из них. Другим может быть амплитуда (высота) или длина волны. Мы знаем из опыта, что поднимаемая ветром мелкая рябь движется медленно, а метровые волны на море - гораздо быстрее. И амплитуда и длина волны имеют одинаковую размерность. Надо выбрать одну из них. Из рисунка видно, что амплитуда колебаний воды в волне резко падает с глубиной, а на поверхности моря может еще заметно меняться при порывах ветра. Но длина волны при этом сохраняется. Поэтому выберем длину волны L. Других параметров, определяющих процесс бега волн по морю мы не видим.
Из опыта применения метода размерностей для маятника можно предположить, что лучше взять не длину волны (параметр L), а L/2π. Нетрудно видеть, что комбинация gL имеет размерность квадрата скорости. Поэтому заключаем, что скорость ветровой волны должна быть:
vволны ~ √(gL/2π). (2)
Как этот результат соотносится с опытом? Измерения на морях показывают, что: а) при скоростях ветра vветр < 3 м/сек скорость волны vволны ≈ 0,75√(gL/2π), а при скоростях ветра vветр > 4-5 м/сек скорость волны:
vволны ≈ 0,8√(gL/2π). (3)
Как мы видим, поправочный коэффициент к нашему результату весьма близок к единице. Такой успех применения метода размерностей означает, что мы научаемся познавать физику «на пальцах».
Всякий материал закрепляется в мозгах решением хотя бы простейших задач. Поэтому:
Задача 1. Какова длина математического маятника, период колебаний которого равен точно одной секунде?
Задача 2. Какова скорость волны, расстояния между гребнями которой равно 40 метрам?
На следующем уроке мы таким же способом определим скорость волн цунами в морях и океанах и обсудим роль цунами в истории человечества.
Мы с вами пока и не экспериментаторы, и не теоретики. И потому пойдем другим путем. Поскольку знаем размерности величин, определяющих изучаемый процесс. И только на основании этих знаний не выводя никаких уравнений и не решая их получим правильные зависимости между описывающими процесс величинами. Такой подход называют методом размерностей.
В этом уроке мы сначала определим частоту колебаний маятника как функцию его параметров. А затем установим зависимость скорости бега морских волн от их длины. Подчеркиваю - без использования каких-либо уравнений.
1. Определение частоты колебаний математического маятника.
Для этого зададимся вопросом - какие параметры определяют процесс колебаний такого маятника? Сам маятник характеризуется его массой m и длиной l, а причина его колебаний - наличием гравитационного поля Земли (ускорением свободного падения g). Размерность последней величины - см/сек². Из всех этих параметров можно составить только одну комбинацию, имеющую размерность периода колебаний Т[сек]. Это - корень квадратный из l/g. Тем самым, мы приходим к выводу, что Т ~ √(l/g) и не зависит от массы маятника.
Это - качественно правильный ответ. Количественно же он отличается от правильного на множитель 2π, а именно: Т = 2π√(l/g). Но если бы мы оперировали не понятием периода колебаний, а понятием циклической частоты ω=2π/Т, то получили бы точный количественный результат ω = √(g/l). Этот факт намекает на то, что при работе с колебательными или волновыми процессами нужно использовать не полные временные или пространственные периоды таких процессов, а их 2π-тую часть. Итак, для математического маятника:
Т = 2π√(l/g); ω = √(g/l). (1)
Отметим, что для получения этого результата мы не выводили, не писали и не решали уравнения движения маятника. Обошлись без них. Нам лишь пришлось подумать о том, какие параметры системы и внешних условий определяют изучаемый процесс. Метод, который мы применили для оценки периода (частоты) колебаний маятника называют методом размерностей.
2. Зависимость скорости ветровой волны от ее длины.
Для устойчивого усвоения метода размерностей определим зависимость скорости распространения по морю ветровых волн от их длины. Ветровая волна (возбуждаемая ветром на воде волна) имеет такую структуру:
Какие параметры определяют этот процесс? Ясно, что ускорение свободного падения g - один из них. Другим может быть амплитуда (высота) или длина волны. Мы знаем из опыта, что поднимаемая ветром мелкая рябь движется медленно, а метровые волны на море - гораздо быстрее. И амплитуда и длина волны имеют одинаковую размерность. Надо выбрать одну из них. Из рисунка видно, что амплитуда колебаний воды в волне резко падает с глубиной, а на поверхности моря может еще заметно меняться при порывах ветра. Но длина волны при этом сохраняется. Поэтому выберем длину волны L. Других параметров, определяющих процесс бега волн по морю мы не видим.
Из опыта применения метода размерностей для маятника можно предположить, что лучше взять не длину волны (параметр L), а L/2π. Нетрудно видеть, что комбинация gL имеет размерность квадрата скорости. Поэтому заключаем, что скорость ветровой волны должна быть:
vволны ~ √(gL/2π). (2)
Как этот результат соотносится с опытом? Измерения на морях показывают, что: а) при скоростях ветра vветр < 3 м/сек скорость волны vволны ≈ 0,75√(gL/2π), а при скоростях ветра vветр > 4-5 м/сек скорость волны:
vволны ≈ 0,8√(gL/2π). (3)
Как мы видим, поправочный коэффициент к нашему результату весьма близок к единице. Такой успех применения метода размерностей означает, что мы научаемся познавать физику «на пальцах».
Всякий материал закрепляется в мозгах решением хотя бы простейших задач. Поэтому:
Задача 1. Какова длина математического маятника, период колебаний которого равен точно одной секунде?
Задача 2. Какова скорость волны, расстояния между гребнями которой равно 40 метрам?
На следующем уроке мы таким же способом определим скорость волн цунами в морях и океанах и обсудим роль цунами в истории человечества.