Опровержение мифа о "единстве математики"

[matholimp]

Мнимое "единство математики" уже более ста лет является (само)обманом. Почти сразу же после скандала с противоречивостью наивной теории множеств, единая прежде математика успешно раскололась на несколько несовместных между собой: классическую (традиционную), конструктивную (к которой, хотя этого толком почти никто не осознаёт, относится и вся

Comments

[gaz_v_pol]

А можно ли привести какой-то конкретный пример алогоритма, который (будучи написанным с точки зрения классической математики) может приветс к фактической ошибке в итоговых выводах?

[matholimp]

Вообще говоря, сколько угодно. Другое дело, что ошибки, лежащие на поверхности (например, вызванные округлением чисел в компьютере), давно изучены и с ними худо-бедно научились бороться. Однако вспомните хрестоматийное: "правила техники безопасности пишутся кровью". Каждый новый тип ошибки обнаруживается лишь после того, как она "сработает". Иногда с весьма печальными последствиями.

[matholimp]

Попробуйте порешать задачку с http://matholimp.livejournal.com/598424.html . Там почти на каждом шаге алгоритм, успешно проработавший для предыдущего n, при очередном n+1 нарывается на неожиданные ошибки, обнаружить которые весьма непросто.

[matholimp]

Еще в середине 1980-ых я написал простенькую программу "Графический микроскоп" и методические рекомендации по её использованию для "наглядного" изучения производных. А несколько лет спустя она была встроена в "студенческие" модели микрокалькуляторов Casio.
Серии тщательно подобранных примеров, демонстрирующих возможные последствия «безобидного» (на первый взгляд) округления, а также иные ошибки, связанные с автоматизацией вычислений была включена мною в 1986г. в рукопись конкурсного учебника ОИВТ для 9-10 классов. Один из разобранных в учебнике примеров - синусоида, видимый на дисплее период которой оказывается во много раз больше истинного. Более сложный пример позволяет собственными глазами увидеть качественную картину эффектов, связанных с нарастанием ошибок округления. Сначала гладкий график становится слегка "шершавым", затем эта шершавость приобретает форму ступеней, на монотонных участках растут непредсказуемые всплески, пока весь график не превратится в гребенку "белого шума" (когда ошибки уже полностью подавят содержательную

[levyi_botinok]

Э..м.. В теореме Коши используется слово "непрерывная", которому в математике уделяется немало внимания. Вы хотите сказать, что "конструктивном" (компьютерном?) анализе это понятие так же определено, однако теорема Коши неверна?

[matholimp]

Да. Между классическим математическим анализом и его конструктивным "братом-близнецом" примерно такая же разница как между геометриями Евклида и Лобачевского: почти одинаковый по составу набор теорем, но во многих случаях конкретные формулировки противоположны по смыслу.
Принципиальная разница состоит в том, что обе геометрии являются разделами одной и той же классической математики (а при желании обе можно выстроить и в конструктивной). Здесь же аналогичный конфликт, но уже не внутри классической математики, а между ней самой и несовместимыми с ней.

мироусовершенствование (1)

[falcao]

Итак, я продолжу дискуссию, начатую в предыдущем посте

мироусовершенствование (2)

[falcao]

ПРОДОЛЖЕНИЕ