Решения задач 2 тура для 10 класса
Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350808.html .
1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Заметим, что f (x) = (x+3)3-3.
Поэтому f ( f (x)) = f ((x+3)3-3) = ( [(x+3)3-3]+3) 3-3=(x+3)9-3;
аналогично получаем, что f (f (f (x))) = (x+3)27-3 и f (f (f (f (x)))) = (x+3)81-3.
Итак, нужно решить уравнение (x+3)81-3 = 0; его корень равен -3 + 81√3.
3. Можно вырезать из круга прямоугольник со сторонами 1 и √3, а также три трапеции. Из этих деталей получается прямоугольник со сторонами 1 и √3+1/2+(√3/2-1/2)=(3√3)/2>2,5.
4. Пусть сторона каждого квадрата не меньше 1. Для начала докажем, что расстояние между центрами квадратов не меньше 0,49. Действительно, пусть O и A - центры квадратов и OA<0,49, В и С - проекции А на диагонали квадрата с центром О. Тогда AC<0,49 . Хотя бы одна из прямых, содержащих диагонали квадрата с центром A, пересекает прямую OC в точке, удалённой от A не более чем на 0,49√2. Но тогда сторона этого квадрата не превышает 0,98.
Теперь используем принцип Дирихле. Разобьём исходный квадрат на 90000 квадратиков со стороной 1/3. В одном из этих квадратиков окажется хотя бы два центра, но расстояние между ними не может превышать √2/3<0,49.
5. Пусть a - k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an - 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. Нужно проверить, что a#(b#c)=(a#b)#c. Это можно доказать прямым вычислением, а можно заметить, что если x и y - тангенсы углов A и B, то x#y - тангенс угла A+B, и поэтому требуемое свойство следует из того, что tg(A+(B+C))=tg((A+B)+C).
Замечание. При этом возможно, что одно из значений определено, а второе не определено, например, при a=2, b=c=1.
1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Заметим, что f (x) = (x+3)3-3.
Поэтому f ( f (x)) = f ((x+3)3-3) = ( [(x+3)3-3]+3) 3-3=(x+3)9-3;
аналогично получаем, что f (f (f (x))) = (x+3)27-3 и f (f (f (f (x)))) = (x+3)81-3.
Итак, нужно решить уравнение (x+3)81-3 = 0; его корень равен -3 + 81√3.
3. Можно вырезать из круга прямоугольник со сторонами 1 и √3, а также три трапеции. Из этих деталей получается прямоугольник со сторонами 1 и √3+1/2+(√3/2-1/2)=(3√3)/2>2,5.
4. Пусть сторона каждого квадрата не меньше 1. Для начала докажем, что расстояние между центрами квадратов не меньше 0,49. Действительно, пусть O и A - центры квадратов и OA<0,49, В и С - проекции А на диагонали квадрата с центром О. Тогда AC<0,49 . Хотя бы одна из прямых, содержащих диагонали квадрата с центром A, пересекает прямую OC в точке, удалённой от A не более чем на 0,49√2. Но тогда сторона этого квадрата не превышает 0,98.
Теперь используем принцип Дирихле. Разобьём исходный квадрат на 90000 квадратиков со стороной 1/3. В одном из этих квадратиков окажется хотя бы два центра, но расстояние между ними не может превышать √2/3<0,49.
5. Пусть a - k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an - 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. Нужно проверить, что a#(b#c)=(a#b)#c. Это можно доказать прямым вычислением, а можно заметить, что если x и y - тангенсы углов A и B, то x#y - тангенс угла A+B, и поэтому требуемое свойство следует из того, что tg(A+(B+C))=tg((A+B)+C).
Замечание. При этом возможно, что одно из значений определено, а второе не определено, например, при a=2, b=c=1.