Решения задач 2 тура для 9 класса
Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350523.html .
1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Поскольку число 6 написано дважды, то оба исходных числа (обозначим их a и b) делятся на 6.
Если Верино число имеет 10 делителей, то его разложение - либо p9, либо p1∙q4 (где p и q - некие простые числа); первое невозможно, поскольку оно делится на 6. Валино число имеет 9 делителей, так что его разложение - либо s8, либо s2∙t2; опять же возможно только второе. При этом числа p и q равны 2 и 3 в каком-то порядке, числа s и t - тоже. Легко видеть, что НОД таких чисел равен либо 2∙32=18, либо 3∙22=12, и в любом случае имеет 2∙3=6 делителей. Значит, среди выписанных чисел ровно 6 повторяющихся, и количество различных чисел равно 10+9-6=13.
3. 1) Пусть масса золота в кладе равна z кг, а масса серебра - s кг. Старшему брату досталось z/5+s/7 кг; это меньше (z+s)/5, но больше (z+s)/7. Из этого следует,что братьев больше пяти, но меньше семи, то есть их шестеро.
2) Теперь получаем систему уравнений: z/5+s/7=100, z+s=600.
Решаем: z/5+s/7=z/6+s/6; (1/5-1/6)z=(1/6-1/7)s; z/30=s/42; z=(5/7)s.
Поскольку z+s=600, то z=250, s=350.
3) Младший брат получил 250/7 кг золота; значит, ему досталось 100-250/7=450/7 кг серебра. Доля этого серебра от всего серебра в кладе составляет 450/7:350=9/49.
Ответ: 9/49.
4. Для начала расположим в круге прямоугольник с вершинами (±√3/2, ±1/2). Его стороны равны 1 и √3. Далее нарисуем два маленьких прямоугольника: один с вершинами (±1/2, 1/2) и (±1/2, √3/2), и второй, симметричный первому. Стороны каждого из этих прямоугольников равны 1 и √3/2-1/2. Из этих трёх прямоугольников легко сложить один со сторонами 1 и √3+2∙(√3/2-1/2)=2√3 - 1 >2,4.
5. Пусть a - k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an - 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. Нужно проверить, что a#(b#c)=(a#b)#c. Это можно доказать прямым вычислением, а можно заметить, что если x и y - тангенсы углов A и B, то x#y - тангенс угла A+B, и поэтому требуемое свойство следует из того, что tg(A+(B+C))=tg((A+B)+C).
Замечание. При этом возможно, что одно из значений определено, а второе не определено, например, при a=2, b=c=1.
1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Поскольку число 6 написано дважды, то оба исходных числа (обозначим их a и b) делятся на 6.
Если Верино число имеет 10 делителей, то его разложение - либо p9, либо p1∙q4 (где p и q - некие простые числа); первое невозможно, поскольку оно делится на 6. Валино число имеет 9 делителей, так что его разложение - либо s8, либо s2∙t2; опять же возможно только второе. При этом числа p и q равны 2 и 3 в каком-то порядке, числа s и t - тоже. Легко видеть, что НОД таких чисел равен либо 2∙32=18, либо 3∙22=12, и в любом случае имеет 2∙3=6 делителей. Значит, среди выписанных чисел ровно 6 повторяющихся, и количество различных чисел равно 10+9-6=13.
3. 1) Пусть масса золота в кладе равна z кг, а масса серебра - s кг. Старшему брату досталось z/5+s/7 кг; это меньше (z+s)/5, но больше (z+s)/7. Из этого следует,что братьев больше пяти, но меньше семи, то есть их шестеро.
2) Теперь получаем систему уравнений: z/5+s/7=100, z+s=600.
Решаем: z/5+s/7=z/6+s/6; (1/5-1/6)z=(1/6-1/7)s; z/30=s/42; z=(5/7)s.
Поскольку z+s=600, то z=250, s=350.
3) Младший брат получил 250/7 кг золота; значит, ему досталось 100-250/7=450/7 кг серебра. Доля этого серебра от всего серебра в кладе составляет 450/7:350=9/49.
Ответ: 9/49.
4. Для начала расположим в круге прямоугольник с вершинами (±√3/2, ±1/2). Его стороны равны 1 и √3. Далее нарисуем два маленьких прямоугольника: один с вершинами (±1/2, 1/2) и (±1/2, √3/2), и второй, симметричный первому. Стороны каждого из этих прямоугольников равны 1 и √3/2-1/2. Из этих трёх прямоугольников легко сложить один со сторонами 1 и √3+2∙(√3/2-1/2)=2√3 - 1 >2,4.
5. Пусть a - k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an - 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. Нужно проверить, что a#(b#c)=(a#b)#c. Это можно доказать прямым вычислением, а можно заметить, что если x и y - тангенсы углов A и B, то x#y - тангенс угла A+B, и поэтому требуемое свойство следует из того, что tg(A+(B+C))=tg((A+B)+C).
Замечание. При этом возможно, что одно из значений определено, а второе не определено, например, при a=2, b=c=1.