Решения задач 2 тура для 11 класса
Условия см. на http://matholimp.livejournal.com/1350976.html .
1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Заметим, что f (x) = (x+3)3-3.
Поэтому f ( f (x)) = f ((x+3)3-3) = ( [(x+3)3-3]+3) 3-3=(x+3)9-3;
аналогично получаем, что f (f (f (x))) = (x+3)27-3 и f (f (f (f (x)))) = (x+3)81-3.
Итак, нужно решить уравнение (x+3)81-3 = 0; его корень равен -3 + 81√3.
3. Сначала можно вырезать из круга шестиугольник ширины 1, симметричный относительно пары взаимно перпендикулярных диаметров. Из остатка можно вырезать три трапеции. Получается прямоугольник со сторонами 1 и 2+2∙(√3/2-1/2) =1+√3 >2,7.
4. Поскольку высоты боковых граней одинаковы, то расстояния от проекции вершины до сторон также одинаковы и равны 11, т.е. радиус вписанной в основание окружности равен 11.
По известной формуле, площадь треугольника равна 62∙11/2=341. В то же время площадь вписанного круга πr2=121π>341, что невозможно.
5. Пусть a - k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an - 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. В алгебре Павла:
x @ y=x # x # ... # x (y раз),
y @ x=y # y # ... # y (x раз).
Так как (А+В)/(1-АВ)=tg(arctg(A)+arctg(B)), то А # В=tg(arctg(A)+arctg(B)).
Следовательно,
x @ y= tg(y∙arctg(x)),
y @ x= tg(x∙arctg(y)).
Если x @ y= y @ x, то x∙arctg(y)= y∙arctg(x), т.е. arctg(x)/x= arctg(y)/y.
Рассмотрим функцию F(z)=arctg(z)/z (при z>0), её производная
F'(z)=(z/(1+z2)-arctg(z))/z2 .
Так как arctg(z)>z/(1+z2) , то F'(z)<0.
Следовательно, F(z) монотонно убывает, то есть принимает различные значения при различных аргументах. Поэтому равенство F(x)=F(y) невозможно, то есть невозможно равенство arctg(x)/x= arctg(y)/y .
Итак, x @ y не может оказаться равным y @ x. Значит, ответ на поставленный в задаче вопрос - отрицательный.
1. Начать нужно с того, что точки пересечения диагоналей служат вершинами другого выпуклого пятиугольника, сумма углов которого равна 540°. Если все его углы тупые, то искомая сумма образована смежными с ними углами и равна 360°. Но если среди углов есть острые, то сумма станет меньше (так как смежный тупой угол заменяется внутренним острым). Легко построить примеры, показывающие, что её можно непрерывно уменьшать до нуля.
Ответ: от 0 до 360°.
2. Заметим, что f (x) = (x+3)3-3.
Поэтому f ( f (x)) = f ((x+3)3-3) = ( [(x+3)3-3]+3) 3-3=(x+3)9-3;
аналогично получаем, что f (f (f (x))) = (x+3)27-3 и f (f (f (f (x)))) = (x+3)81-3.
Итак, нужно решить уравнение (x+3)81-3 = 0; его корень равен -3 + 81√3.
3. Сначала можно вырезать из круга шестиугольник ширины 1, симметричный относительно пары взаимно перпендикулярных диаметров. Из остатка можно вырезать три трапеции. Получается прямоугольник со сторонами 1 и 2+2∙(√3/2-1/2) =1+√3 >2,7.
4. Поскольку высоты боковых граней одинаковы, то расстояния от проекции вершины до сторон также одинаковы и равны 11, т.е. радиус вписанной в основание окружности равен 11.
По известной формуле, площадь треугольника равна 62∙11/2=341. В то же время площадь вписанного круга πr2=121π>341, что невозможно.
5. Пусть a - k-значное число, тогда 10k-1≤a<10k, поэтому 10(k-1)n≤an<10kn, то есть количество цифр в числе an лежит в промежутке [(k-1)n+1, kn+1).
Заметим, что при фиксированных n≤1000 и k≥3 количество цифр принимает все значения из этого промежутка (не может случиться, что при увеличении a на 1 число цифр в an увеличится более чем на одну); это можно установить, например, средствами мат. анализа (при умножении a на 0,001 an увеличится не более чем в e раз, т.е. менее чем в 10 раз). При k≤3 это очевидно. Поэтому если в таком промежутке лежит число 2014, то найдётся k-значное a, для которого an - 2014-значное.
Итак, подходящее a существует тогда и только тогда, когда (k-1)n+1≤2014≤kn+1, то есть когда n лежит в промежутке [2013/k; 2013/(k-1)).
Значит, надо найти наименьшее k, для которого в этом промежутке нет ни одного целого числа. Заметим, что длина этого промежутка равна 2013/k(k-1), и она должна быть меньше 1. Значит, k(k-1)>2013, т.е. k>45.
Проверим для k начиная с 46, выполняется ли условие об отсутствии целого числа в указанном промежутке. Мы обнаружим, что
(для k=46) 2013/46 < 44 < 2013/45 (т.к. 44∙45<2013, 44∙46=452-12=2025-1>2013);
(для k=47) 2013/47 < 43 < 2013/46 (т.к. 43∙46<2013, 43∙47=452-22=2025-4>2013);
(для k=48) 2013/48 < 42 < 2013/47 (т.к. 42∙47<2013, 42∙48=452-32=2025-9>2013);
но (для k=49) 2013/49 > 41 (т.к. 41∙49=452-42=2025-16<2013).
Таким образом, промежуток [2013/49, 2013/48) не содержит целых чисел, и при k=49 подходящих n не существует.
Ответ: k=49.
6. В алгебре Павла:
x @ y=x # x # ... # x (y раз),
y @ x=y # y # ... # y (x раз).
Так как (А+В)/(1-АВ)=tg(arctg(A)+arctg(B)), то А # В=tg(arctg(A)+arctg(B)).
Следовательно,
x @ y= tg(y∙arctg(x)),
y @ x= tg(x∙arctg(y)).
Если x @ y= y @ x, то x∙arctg(y)= y∙arctg(x), т.е. arctg(x)/x= arctg(y)/y.
Рассмотрим функцию F(z)=arctg(z)/z (при z>0), её производная
F'(z)=(z/(1+z2)-arctg(z))/z2 .
Так как arctg(z)>z/(1+z2) , то F'(z)<0.
Следовательно, F(z) монотонно убывает, то есть принимает различные значения при различных аргументах. Поэтому равенство F(x)=F(y) невозможно, то есть невозможно равенство arctg(x)/x= arctg(y)/y .
Итак, x @ y не может оказаться равным y @ x. Значит, ответ на поставленный в задаче вопрос - отрицательный.