Матрица

[mathclimber]

В смысле, задачки про неё.

1. Имеется матрица n x n составленная только из нулей и единиц, и такая, что все ее собственные значения суть действительные строго положительные числа. Докажите, что тогда все эти собственные значения равны единице.

2. Докажите, что для любого n можно расставить числа 1,2,...,n² в квадратную матрицу n x n так, что

Comments

[plinioseviltwin]

1. Через неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.
2. Переходом к вычетам по модулю 2.

[mathclimber]

1. Да, несомненно.

2. Подозреваю что да, но совсем и окончательно не понял.

[plinioseviltwin]

2. Можно добиться, чтобы определитель был не только ненулевым, но и нечетным. Для этого достаточно выбрать расстановку, при которой все нечетные числа стоят либо на диагонали, либо под ней, а четных чисел на диагонали нет. А Вы какое решение имели в виду?

[mathclimber]

Ну да, это именно оно. То есть, тут надо уточнить еще, что именно стоит над ней, но, думаю, Вы это знаете :)