1. Нужно ли все-таки давать грамматические задания во время работы с художественными текстами? В вебинаре четко сказано, что нет. В пособиях в некоторых местах есть такие рекомендации (".. чтобы учащиеся видели грамматические связи между словами, показать - где подлежащее и сказуемое, как они связаны с другими словами", "анализировать незнакомые слова - приставки, суффиксы, время глагола, форму падежа" и т.д.)
При работе с художественным текстом неизбежно возникают и вопросы по грамматике. Но грамматика никогда не должна быть самоцелью при чтении художественной литературы.
В интернете мне попадались разработки по стихотворениям Пушкина, где предлагалось дописать окончания прилагательных. На мой взгляд, это неприемлемо, это убивает произведение. Нужно обязательно помнить, что нельзя превращать чтение художественного произведения исключительно в разбор грамматических форм. Это не исключает снятие некоторых языковых (как лексических, так и грамматических) трудностей. А потому можно заострить внимание учащихся на незнакомых словах, установить словообразовательные цепочки, проанализировать синтаксическую структуру предложения.
Методика работы с поэтическими текстами на уроках РКИ, система пред- при- и послетекстовых заданий, описана Н.В. Кулибиной (смотрите книгу «Зачем, что и как читать на уроке? Художественный текст при изучении русского языка как иностранного»). Нужно помочь иностранцам самостоятельно понять художественное произведение.
2. Что такое когнаты?
Когнаты - слова, возникшие из одного и того же корня родственного пра-языка и которые одинаково (или почти одинаково) звучат на родном и на изучаемом языке (многие слова из славянских языков не нуждаются в переводе).
Близко к понятию интернационализма.
https://storytellingrussian.com/%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B-%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D1%8B-%D0%B8-%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%B8-%D0%BD/ 3. Не поняла фразу: "репрезентативность художественного произведения, т.е. возможность знакомства через его посредство с наиболее значительными произведениями". Может, во втором случае употребления слова "произведения" имеется в виду не произведение, а явление, концепция..?
Вероятно, имеется в виду представительность данного текста, т.е. насколько полно и объективно он отражает определённые события, эпоху, персоналии и проч. На его основе можно судить о других произведениях и о произведениях других авторов. А также в целом, как Вы и отметили, о различных явлениях, концепциях, историческом периоде.
4. Везде упоминается только русская и советская литература. Но у нас появилось много хорошей и российской литературы - ее ведь тоже следует использовать? тем более, с учетом современного русского языка?
Безусловно, можно и нужно использовать современную литературу для знакомства с современным русским языком и актуальной проблематикой.
У преподавателей РКИ в ход идут Акунин, Веллер, Гришковец, Шаргунов, Лимонов, Прилепин, Сорокин, Толстая и мн.др.