Вероятностное обоснование прямой демократии. Часть III (окончание)
Сравнение «среднего»
Обращу ещё раз внимание на то, что распределение по количеству шагов у диктатора и у коллектива - разные. Поэтому те две «точки», которые для них сравниваются, это не одно и то же по своему математическому смыслу.
Для коллектива берётся наиболее вероятное количество шагов, совпадающее со средним по распределению.
Коллектив почти наверняка передумает к этому шагу - с небольшим разбросом в обе стороны, ширина которого зависит от численности коллектива.
Для диктатора берётся «порог угадывания» - количество шагов, соответствующее наперёд заданной вероятности передумать к этому шагу или раньше.
Это уже вовсе не «самое вероятное количество шагов», а что-то вроде «гарантии». Вроде того, что «отлично, если он передумает раньше, но нам главное, чтобы не позже».
Существуют наборы параметров, при которых очевидно лучше или хуже тот или иной вариант, в других же случаях мы имеем дело с «разными оптимизациями»: что лучше, передумать гарантированно к какому-то шагу, но при этом лишь с исчезающе малой вероятностью передумать сильно раньше, или же передумать с относительно большой вероятностью сильно раньше, но и - если не повезёт - со значительной вероятностью сильно позже.
От выбора пороговой вероятности, таким образом, будет сильно зависеть оценка того, какой вариант оказался лучше.
Напомню, что количество шагов для диктатора задаётся соотношением
Здесь pdictChange - интересующая нас «пороговая» вероятность передумывания.
Для прямой демократии же действует соотношение
Задав конкретное значение для «пороговой» вероятности, мы можем составить уравнение, определяющее приблизительную равнозначность систем для этого заданного порога.
Теперь найдём, например, ту вероятность передумать на каждом шаге для диктатора, которая нужна, чтобы сравняться с коллективом (в смысле совпадения «порогового» количества шагов со средним у коллектива) при заданной вероятности передумать на каждом шаге в коллективе и доле с самого начала принявших правильное решение.
Возьмём, например, порог 75%, и долю принявших правильное решение, равную 1/3. Тогда требуемая для «гарантированного» совпадения по эффективности с коллективом будет зависеть от вероятности передумать на каждом шаге голосующими следующим образом
Если повысить порог для диктатора до 90%, то требования к вероятности станет более сильным.
Но даже при сниженной до 50% вероятности, всё равно диктатор должен передумывать с заметно большей вероятностью, чем участники, чтобы сравняться по эффективности с голосованием.
Точно так же не спасло бы ситуацию, если бы вообще все участники приняли неправильное решение.
И только предположение, что вообще все участники ошиблись, а диктатор должен успеть передумать быстрее них лишь в 50% случаев, приводит к уравниванию требований к вероятности диктатора и участников.
С другой стороны, если ошиблось лишь слегка больше половины участников, а от диктатора мы ждём, что он хотя бы в 75% случаев окажется быстрее, то требования к нему снова повышаются до «беспрецедентно гениальный».
В общем и целом, для заданного порога зависимость требования к вероятности передумывания у диктатора зависят от вероятности передумывания у участников и доли изначально принявших правильное решение вот так
Вероятность, что диктатор передумает быстрее
Количество шагов, за которые коллектив в среднем передумает, задаётся соотношением
Вместе с тем, известна вероятность того, что диктатор передумает не позже определённого шага.
Подставив количество шагов в эту формулу, мы получим приблизительную вероятность того, что диктатор при данных параметрах передумает быстрее коллектива.
Правда, эта формула работает только для тех случаев, когда наиболее вероятное количество шагов большем или равном двум - поскольку ни диктатор, ни коллектив не могут поменять мнение быстрее, чем за один шаг.
Формула для наиболее вероятного количества шагов не всегда имеет своим результатом целое число, тогда как в реальности число шагов может быть только целым, из-за чего и возникают «артефакты округления».
Чтобы найти вероятность в случае наиболее вероятного количества шагов меньшего двух, можно воспользоваться уже известной из самых ранних разделов статьи формулой вероятности принятия правильного решения.
В данном случае, заменителем p1 выступает ptoGood, количеством людей - то количество, которое выбрало неправильное решение, а необходимым количеством для «выигрыша» - та разность, которой не хватает для того, чтобы набрать на один голос больше половины участников.
Таким образом, вероятность передумывания коллектива шаге, меньшем двух, равна
Вероятность же того, что диктатор передумает быстрее, равна произведению вероятности того, что диктатор передумал, на вероятность того, что не передумал коллектив.
Впрочем, в промежутке между вторым и примерно четвёртым шагом всё равно остаются некоторые отклонения модели от предсказываемого «составной формулой» - ввиду того, что там особенно заметен эффект от разброса, не учтённый в формуле, поэтому дальнейшие графики будут строиться на основе численного моделирования (им же, в том числе, проверена относительная точность формул аналитического вычисления вероятности).
И вот результат для 1/3 выбравших правильное решение.
Жёлто-красным, как видно по легенде, тут помечена область, где вероятность диктатора передумать быстрее выше ½, а синим - где она ниже. Глубокий синий цвет в правой части графика соответствует вероятностям менее 0,001.
Белая область - это тот случай, когда диктатор и коллектив практически равны, и диктатор передумывает быстрее коллектива примерно в половине случаев.
Некоторая неровность краёв областей вызвана тем, что в данном случае график строится численным моделированием со случайными числами.
Можно видеть, что область, где диктатор выигрывает в скорости (то есть опережает коллектив чаще, чем в половине случаев) весьма невелика и, как уже неоднократно бывало раньше, расположена там, где коллектив передумывает с очень малой вероятностью, а диктатор - с очень большой.
Если предположить, что правильное решение не выбрал никто, то картина выглядит вот так.
Этот график, как тоже уже было ранее, по совместительству является графиком того, насколько вероятно, что диктатор примет решение быстрее, чем коллектив. Снова видно, что уверенное лидирование диктатора расположено там, где вероятность принятия им решения заметно выше, чем аналогичная вероятность для каждого голосующего, то есть снова поголовно заблуждающейся коллектив, где все упорно не передумывают, чтобы ни наблюдалась.
Для небольшого же перевеса в пользу неправильного варианта, как можно видеть, у диктатора вообще почти что нет шансов не просто сравнимо часто передумывать быстрее, но хотя бы передумывать быстрее с не исчезающе малой вероятностью.
Итоги
На протяжении данной статьи было проверено множество параметров, по которым диктатура могла бы оказаться лучше прямой демократии…
- вероятность принятия правильного решения в отдельном вопросе
- вероятность принятия правильного решения на всём множестве вопросов
- скорость принятия решения
- скорость изменения мнения после неправильно принятого решения
- вероятность диктатора принять или изменить решение быстрее, чем коллектив
…и почти всегда получалось, что диктатор, если и может принципиально сравниться с демократией по этим параметрам, то только в том случае, если его качества значительно превосходят среднее по коллективу. В некоторых случаях такое превосходство оказывалось тождественно «уровеню гения, не имеющего прецедентов в истории», но даже в тех случаях, когда требуемая вероятность принятия правильных решений или передумывания не отличалась в разы от участников коллектива, всё равно оказывалось, что она неизбежно должна быть заметно выше, чем у каждого из них.
При этом даже такой вариант - возможность хоть как-то поконкурировать - преимущественно располагался там, где каждый участник коллектива угадывает незначительно лучше монетки или даже хуже монетки (то есть находится в плену заблуждения). Что для отдельного вопроса ещё возможно, но крайне маловероятно на всём множестве вопросов.
Одновременно с тем передумывать и принимать решения все эти люди должны с очень малой вероятностью на каждой итерации - иначе они поменяют своё коллективное мнение или примут коллективное решение быстрее диктатора.
Вдобавок выяснилось, что столь гениальный диктатор должен существовать в обществе и приходить в нём к власти с нереалистично высокой вероятностью, поскольку при меньших вероятностях сама система - диктатура - сможет конкурировать с прямой демократией только при условии маловероятного и от того очень редкого везения - ведь в большинстве случаев будет править не требуемый «гений», а человек, способности которого радикально не дотягивают до требуемых для того, чтобы хотя бы сравняться в эффективности с прямой демократии, не то что её превзойти.
Из всего этого следует, что не только в моральном аспекте или исходя из представлений о справедливости и необходимости развития всех и каждого следует предпочитать прямую демократию диктатуре или правлению малых групп, но и из чисто практических соображений: значительно большей вероятности принятия правильных решений при тех же способностях среднестатистического человека, большей скорости реагирования и так далее.
Я думаю, то, что до сих пор в обществе распространено обратное мнение, видимо, является результатом оценки преимуществ той или иной системы чисто «навскидку» или «из общих интуитивных соображений», либо же результатом сознательной дезинформации людей, ведь действительно, статистический анализ показывает однозначное преимущество прямой демократии.
doc-файл
публикация на сайте «XX2 Век» 1
публикация в блоге автора 1
публикация на сайте «XX2 Век» 2
публикация в блоге автора 2
публикация на сайте «XX2 Век» 3
публикация в блоге автора 3
публикация в блоге автора 3 (окончание)