Самое простое изобретение человечества: почему работает логарифмическая линейка?
Начнём с очевидного: совершенно ясно, как заниматься сложением при помощи линеек. Вот так: 2+4=6.
Такая же линейка позволит нам и умножать числа: 100×10000=1000000.
Ничего удивительного, правда? Два нуля и четыре нуля - шесть нулей!
Но в числе десять нет ничего особенного: можно вместо него, к примеру, использовать двойку. Тогда наша линейка позволит нам умножить 4 на 16 - и получить 64.
Работает! Но у нашей линейки есть большой недостаток: на ней отмечены не все числа. Где 3, 5, 10? Вот если бы на ней были все числа - отличная была бы вещь!
Может быть, тройка должна быть ровно посередине между 2 и 4? Нет! И вот доказательство: 3×3=8.
Нет, тройку нужно нарисовать немного правее. Эх, если бы у нас уже была отмечена девятка!..
Пара вопросов:
1. Где на нашей линейке будет ½, 0, −1, корень из двух?
2. Попробуйте придумать свой собственный способ добавления на нашу линейку тройки и других чисел. Хотя бы приблизительный! (Исторически использовалось как минимум три совершенно разных подхода, и наверняка есть ещё. Я расскажу о них через неделю.)
Источник: DeGolyer Library, Southern Methodist University
Линейка эта оказалась невероятно полезным изобретением. Примерно с 1800 до 1950 года нельзя было даже представить себе, например, инженера без линейки. Перемножать, делить, извлекать корни - большое, громоздкое вычисление можно было проделать за секунды! Счёт цифрами, «в столбик» будет раз в десять медленнее, нагружает голову и подвержен ошибкам. Точность линейки, правда, не бесконечная (около трёх значащих цифр), что не очень подходит для бухгалтерии. Пришедшие на смену линейкам электронные микрокалькуляторы дали нам выигрыш в точности, но не в скорости (а до 1990-х - и не в цене устройства).
Напоследок - что же такое логарифм? Это - то, что на самом деле складывает наша линейка: «количество перемноженных двоек» в числе. Логарифм 2 равен 1, логарифм 32 равен 5, логарифм 33 равен 5.04439 и так далее. При желании можно выписать числа вместе с их логарифмами в табличку и складывать в столбик, так мы получим произвольную точность (и большую экономию времени от замены умножения сложением).
Меня во всей этой истории больше всего интересует, почему логарифмическую линейку не придумали гораздо, гораздо раньше (таблицам логарифмов и самой линейке всего 400 лет).
Ещё в Вавилоне использовался приём быстрого умножения через разность квадратов, для которого нужны таблицы этих самых квадратов.
У Архимеда в «Исчислении песчинок» есть нужные идеи о связи арифметической и геометрической прогрессии (они ему потребовались, так как у греков не было удобной позиционной системы счисления).
Источник: Википедия
Две тысячи лет назад греки умели делать очень, очень сложные и хитроумные аналоговые компьютеры для точного предсказания положения планет (на основе шестерёнок - Антикерский механизм) - и линейка по сравнению с ним выглядит детской забавой.
В 8 веке в Индии были составлены таблицы «количества делений числа пополам», которые использовались для быстрого умножения.
И всё же ни у кого до линейки дело не дошло! Но ведь идея столь проста, практически очевидна.. Возможность мгновенного вычисления с помощью деревянных палочек слишком хороша, чтобы в такое поверить?
