Два шедевра древнегреческой математики
В своём эссе "Апология математика" британский математик Г.Х. Харди приводит примеры теорем, которые "любой математики сочтёт первоклассными". Чтобы быть понятным широкому кругу читателей, он поступает таким образом:
"Я сформулирую и докажу две из знаменитых теорем древнегреческой математики. Обе эти теоремы принадлежат к числу «простых» - как по идее, так и по исполнению, но несомненно, при всем этом обе - теоремы высочайшего класса. Каждая из этих теорем так же свежа и значима, как в пору своего открытия. Два прошедших с тех пор тысячелетия не оставили и морщинки на их лике. Наконец, интеллигентный читатель, сколь бы скудным ни был его математический багаж, может за какой-нибудь час одолеть и формулировки, и доказательства этих теорем.
1. Первый пример - предложенное Евклидом доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел.
Простыми называются числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29,...(*), которые не могут быть разложены на меньшие множители. Например, 37 и 317 - простые числа. Именно простые числа служат тем материалом, из которого с помощью умножения образуются все числа: например, 666 = 2 • 3 • 3 • 37. Каждое число, которое не является простым, делится по крайней мере на одно простое число (разумеется, обычно оно делится на несколько простых чисел). Требуется доказать, что существует бесконечно много простых чисел, т. е. последовательность (*) никогда не кончается.
Предположим, что последовательность (*) кончается, т.е. что 2, 3, 5,... ,Р - все входящие в нее числа (таким образом, Р - наибольшее простое число). Следуя этой гипотезе, рассмотрим число Q = (2•3•5•...•Р)+1. Ясно, что Q не делится ни на одно число 2, 3, 5,... , Р, так как при делении на любое из этих чисел дает остаток 1. Но если число Q не простое, то оно должно делиться на какое-то простое число. Следовательно, существует какое-то простое число (может быть, само число Q), больше, чем любое из чисел 2, 3, 5,... , Р. Это противоречит сделанному нами предположению о том, что не существует простого числа, которое бы превосходило число Р, и, следовательно, это предположение неверно.
Метод доказательства reductio ad absurdum (доказательство от противного), столь любимый Евклидом, - один из самых лучших инструментов математика."
2. Второй пример Харди (перескажу своими словами) - доказательство того факта, что число
- иррациональное.
Предположим, что это не так. Тогда оно является рациональным, т.е. существуют такие целые m и n, что
, причём эту дробь мы можем считать несократимой. Тогда, возводя равенство в квадрат, получаем: m2=2n2. Отсюда следует, что число m - чётное, следовательно, может быть записано как m=2k. Но тогда 4k2=2n2, т.е. n2=2k2. Поэтому и n есть чётное число. Имеем противоречие с допущением о том, что дробь m/n несократима. Следовательно, число
- иррациональное.
Остроумные люди были древнегреческие математики! И тем не менее, достаточно подготовленному школьнику, чтобы разобраться в этих доказательствах, потребуется гораздо меньше предполагаемого Харди времени.