La Mathématique du Chat - парадокс Берри
Прочитал La Mathématique du Chat Гелюка (это он делал выставку об искусстве глазами своего персонажа). Сама книга так себе, автор просто прочитал все публикации Гелюка, отобрал то, что так или иначе относится к математике и разложил по категориям. Ценность книги по отношению к оригинальным альбомам близка к нулю, но почитать про Кота всегда приятно. В частности я нашёл себе футболку мечты (справа). Подпись: «вы всегда можете на меня рассчитывать» (по-французски звучит в точности так же, как и «считать на мне»).
Встретил в книге парадокс Берри. В двух словах, мы отталкиваемся от некоего конечного словаря естественного языка. Поскольку в нём конечное количество слов, из него можно составить конечное количество фраз ограниченной длины; предположим, состоящих из менее 20 слов (оставим в стороне морфологию, а также слияние слов для образования новых - предположим, что у нас в словаре есть все формы всех возможных слов).
Мы можем попытаться описать получаемыми фразами некоторые натуральные числа. Например «пять факториал» - это 120. Очевидно, что конечным набором фраз невозможно описать бесконечное количество чисел. То есть, какие-то числа невозможно будет описать фразами короче 20 слов. Зададимся вопросом - какое минимальное число нельзя описать подобными фразами? Предположим, что мы нашли это число. Почему мы не можем описать его фразой «самое маленькое число, которое нельзя описать фразой из менее 20 слов»?
В книге этот парадокс цитируют после картинки с Котом, который говорит «Возьмём два предмета, не имеющих ничего общего. Но у них общего уже тот факт, что у них нет ничего общего». Издалека напоминает «отсутствие повода - это тоже повод», и разбирается примерно так же. Когда мы говорим «ничего общего», мы сравниваем предметы. Сравниваем их мы по некоторому, заранее определённому набору признаков. По этому набору у них нет ничего общего. После чего мы вводим новый признак - отсутствие пересечений в предыдущем списке признаков. И по этому признаку у наших предметов очевидное совпадение.
Примерно так же разбирается парадокс Берри - для того, чтобы определить число словами, мы сначала должны дать какие-то словесные определения математике. Например, определить слово «факториал» для моего примера. В рамках этих правил мы можем определять слова фразами. А фраза «самое маленькое число, которое нельзя описать фразой из менее 20 слов» пока ещё не определена. И может ли она быть определена - это тот ещё вопрос.
На самом деле, не может, так как это ещё одна вариация парадокса Рассела (он же «парадокс лжеца», который в самой простой своей форме сводится к «эта фраза неверна»). Что само по себе не так удивительно, если учесть, что парадокс Берри сформулировал тоже Бертран Рассел :-)