Не понимаю!

[gignomai]

В чтении Лобачевского запнулся на вот этом месте:
"Сумма углов прямолинейного треугольника не может быть > π; напротив, сумма углов сферического треугольника всегда > π".
Точнее, на его первой части (со сферическими треугольниками потом).
Ну как это "не может быть больше π"? Т.е., конечно, не может, если точно известно, что она равна π. Это же

Comments

[antonk83]

Как я понимаю, тенденция в математике после Канта была как раз в сторону ухода от опоры на Anschauung.

[gignomai]

Это я знаю. Читаю сейчас об этом книгу Коффы, и Гельмгольца прочитал про это. Но хочу прошагать весь этот путь, джотошно проверяя логику движения.

[antonk83]

Про детали исторического пути я не знаю, но конечная точка вроде бы понятна - сейчас считают, что аксиомы - это не что-то очевидно истинное, а предмет выбора. Важно только, чтобы система аксиом была непротиворечивой. И уже совсем отдельно решается вопрос о соответствии систем аксиом физическому миру.

В принципе действительно можно заменить чем-то еще не только пятый постулат, но и другие аксиомы и постулаты, концентрация именно на пятом, как я понимаю, имеет только исторические причины (он казался менее интуитивно очевидным или более сложным, чем другие).

[gignomai]

Спасибо.
Тут вот над чем хочется подумать.
Во-первых, над требованиями к системе аксиом и к каждой аксиоме. Все-таки, почему именно пятая? Во-вторых, об онтологическом статусе новых геометрий. Я прочитал, что Бельтрами, первым проинтерпретировавший геометрию Лобачевского, мысли ее локальным вариантом евклидовой, как "внутреннюю геометрию" псевдосферы. Сам Лобачевский называл ее "воображаемой". Кактус ниже пишет вообще об играх с разными правилами...
Ну и отдельный вопрос - о характере и устройстве мышления, которое полрождает это направление мысли.

[antonk83]

Как я понимаю, пятый постулат чуть ли не уже греки пытались доказать, считая его менее очевидным, чем другие, но долго-долго это не получалось, пока Лобачевский с Риманом не попытались выстроить геометрию, в которой этот постулат неверен.
Онтологическом статус - в смысле их соответствие физическому миру или их статус сам по себе, как систем аксиом?

"Я прочитал, что Бельтрами, первым проинтерпретировавший геометрию Лобачевского, мысли ее локальным вариантом евклидовой, как "внутреннюю геометрию" псевдосферы."

Сейчас вроде как считают скорее евклидову частным случаем, с постоянной нулевой кривизной (а может быть положительная, отрицательная и даже непостоянная.

Про мышление интересно, да. Навскидку - формалистское, для которого единственное ограничение - непротиворечивость, а вопрос о соответствии физическому миру вынесен за пределы чистой математики.

[gignomai]

Про онтологический статус - вопрос о единстве или множестве миров. Ведь когда говорят о "внутренней геометрии" какой-нибудь поверхности, то ее тоже мыслят особым миром. С другой стороны, можно помыслить мир с другой геометрией, который мог бы быть (а может, еще будет)?

Да, вот что еще интересно: как доказать непротиворечивость? Ведь необнаруженность противоречий - не доказательство их отсутствия.

[antonk83]

Можно помыслить, конечно, Пуанкаре, например, много всяких тактх интересных миров напридумывал.

Непротиворечивость в общем случае не доказать. Т.е. можно доказать, приняв некоторую более сильную систему аксиом (типа приняв аксиомы теории множеств можно доказать непротиворечивость арифметических аксиом Пеано), а так нет.