Две веселые задачи про дроби.

[gaz_v_pol]

Позвали меня в одно хорошее место, помочь задачи по математике у детей устно принимать. Раздали школьникам листки с условиями, а принимающим с решениями. Одна из задач выглядела так:

Comments

[sleeping_death]

Как это доказать без вычислений ?

легко. в знаменателе должно быть НОК. а 120 на 72 никак не делится нацело.

[gaz_v_pol]

Правильно ли я понял Ваш тезис, sleeping_death, что на Ваш взгляд знаменатель суммы дробей всегда равен наименьшему общему кратному знаменателей слагаемых ?

[sleeping_death]

тезис? это вроде как правило, нет?

[gaz_v_pol]

Увы, нет. Это верно довольно часто, но не всегда.

[sleeping_death]

эм. поподробнее можно?

[gaz_v_pol]

Чему, на Ваш взгляд, равно наименьшее общее кратное всех чисел от 2 до 6 ?

И каков, на Ваш взгляд, окажется знаменатель, если сократить все что можно в шестой частичной сумме гармонического ряда?

[sleeping_death]

НОК чисел от 2 до 6 равен 60

нет?

[gaz_v_pol]

Верно, НОК от 2 до 6 равен 60. Тем самым, если Ваш тезис верен, то и знаменатель у шестой частичной суммы гармонического ряда, если сократить на все что можно, тоже будет равен 60. Но это не так (проверьте!).

[sleeping_death]

ессно, вопросы "какой НОК" и "какой окажется знаменатель" несколько разные, потому что возможно сокращение с числителем.

[gaz_v_pol]

Прошу прощения, я не понял. Вы снимаете или продолжаете защищать аргумент, что неверность исходного "равенства" следует из того, что 120 не делится на 72 ?

[sleeping_death]

хотя я тут на трезвую голову подумал - я понял, о чем вы говорили и надо обдумать все детальнее.

[sleeping_death]

посмотрел решение. у вас там опечатка.

Знаменатель третьей дроби, 42, делится на 7. Остальные знаменатели в левой и правой части на 7 не делятся. Так быть не может. Ибо пусть x есть наименьшее общее кратное чисел 6, 20, 42 и 120. Умножим левую и правую часть часть равенства на число x/7 (это будет целое число). Дробь 1/42 останется числом нецелым, а остальные дроби в левой и правой части превратятся в целые числа.

НОК от 6, 20, 42 и 120 это 840. после деления на 7 это 120 собственно. которое на 72 нацело не делится. видимо, вы имели ввиду НОК от всех знаменателей: 6, 20, 42, 72 и 120.

[gaz_v_pol]

Спасибо, sleeping_death, исправил.