Две веселые задачи про дроби.

[gaz_v_pol]

Позвали меня в одно хорошее место, помочь задачи по математике у детей устно принимать. Раздали школьникам листки с условиями, а принимающим с решениями. Одна из задач выглядела так:

Comments

[sleeping_death]

Как это доказать без вычислений ?

легко. в знаменателе должно быть НОК. а 120 на 72 никак не делится нацело.

[gaz_v_pol]

Правильно ли я понял Ваш тезис, sleeping_death, что на Ваш взгляд знаменатель суммы дробей всегда равен наименьшему общему кратному знаменателей слагаемых ?

[sleeping_death]

тезис? это вроде как правило, нет?

[gaz_v_pol]

Увы, нет. Это верно довольно часто, но не всегда.

Две веселые задачи про дроби.

[livejournal]

Пользователь ud0d сослался на вашу запись в своей записи « Две веселые задачи про дроби. » в контексте: [...] Оригинал взят у в Две веселые задачи про дроби. [...]

[glukanat]

с первой задачей все понятно, семерка наше все, куда дели, сократиться не могла. А вот проверять на какое-нибудь 97 знаменатель у большой дроби попросту не хочется, хотя оно можно и устно сделать. Верно ли что имеется ввиду что-то поизящнее

[gaz_v_pol]

1. Да, верно (сейчас заскриню комментарий, чтобы другие могли порешать)
2. А что, есть какой-то путь устно проверить делимость на 97 ?

[glukanat]

ну примерно как делимость на 101 или 1001 только сложнее :-) Фактически делить столбиком (сначала или с конца) не запоминая результат, а следя только за остатками. В принципе на бумажке оно даже надежно, а устно - сбиться легко

[gaz_v_pol]

Не уверен, что правильно понял, в чем Ваш/твой (мы знакомы?) тезис -- в том, что если посчитать сумму до 99, то знаменатель будет делиться на 25 ? Предлагать сейчас спор не буду, ибо выпил вина, но завтра утром, скорее всего, буду готов (думаю что не будет знаменатель, если посчитать это выражение до 99 включительно и сократить, делиться на 25).

[glukanat]

вместо 99 можно проверить делимость на 37
704 175 789 820 096 019 361 791 470 246 654 265 923 6800
704-175+789-820+096-019+361-791+470-246+654-265+923-680
38-64+12-43-15-19+28-14+26-24-12-43+35-14
1+10+12-6-15-19-9-14+26-24-12-6-2-14
23-63+2-34=-72
на 37 большой знаменатель не делится. Хотя должен

[gaz_v_pol]

Прошу прощения, уважаемый glukanat, но для проверки делимости на 37 нужно брать не знакопеременную сумму "трехзначных цифр" числа, а обычную (все плюсы).

[glukanat]

Даю, и правильной сумме все сходится, 6993. Еще раз спасибо за хорошую шутку

[gaz_v_pol]

В каждой шутке есть доля правды. Откройте ссылку на решение задачи (она есть в исходном сообщении).

[anonymous]

Все-таки, если дети продвинутые, то наряду с решением "в лоб" ("сложим первые 8"), надо предлагать и простое решение. Раз уж данная задача позволяет обойтись без подсчета:
S = 1/100 +[(1/2-1/3)+...+(1/98-1/99)]=
1/2 - [(1/3-1/4)+...+(1/99-1/100)]
и, поскольку первая квадратная скобка больше второй, то S>(1/2+1/100)/2=51/200>1/4

[gaz_v_pol]

О как!
Спасибо большое! А Вы кто, мы знакомы?
Ваше решение навело меня на мысль сделать тождество, показывающее, что левая часть больше 1/4:

[anonymous]

Красиво, но это уже для сильно заинтересованных школьников.
Такие задачи хороши тем, что к концу обсуждения появляются все более и более интересные решения (вот, и выше - у rus4).
Хорошее средство убедить школьников, что математика красива и поинтереснее iPod-ов и iPhone-ов.
Нет, не знакомы.

[gaz_v_pol]

Мне тоже понравилась идея rus4. Сделал и на ее основе тождество в пару к сделанному на Вашей идее: