Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?
Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка ( Read more... )
Comments 41
> Изначальная формулировка теоремы Гёделя - полностью синтаксическая
Так ли это? Если брать исторически "изначальную" формулировку, то она была усложнённой, и в неё входило условие "омега-непротиворечивости", которое далее было просто отброшено. Устроит ли Вас утверждение о том, что ТГ всего лишь можно сформулировать именно так, как Вы это сделали ( ... )
Reply
Хотя у меня есть перед Вами "долг" со старых времён в виде пары неотвеченных комментов, я надеюсь, что Вы не будете возражать против того, чтобы помимо "замороженного мяса" Тигры покушали немного "свежатинки", раз уж она попалась под руку лапу :)
Честно говоря, я бы предпочёл разбираться с вопросами по-порядку, хотя тигр, конечно, зверь вольный. У меня всё укрепляется ощущение, что Магеллан вам надоел: опять целый месяц ничего не было слышно, хотя на „сладчайшего“ Гёделя, вы среагировали быстро. :-) Если это действительно так, то давайте придадим обсуждению какое-то завершение (как вы сами отмечали нам с вами именно его часто не хватало в прошлом), тем более, что за ним следим не только мы одни.
Так ли это?
Да, в этом я достаточно уверен. Про \omega-consistency и приём Россера я знаю. Вот формулировка из английского перевода Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I (я сравнил и с другим переводом, на всякий случай):
Theorem VI: For every ω-consistent [primitive] recursive class κ of ( ... )
Reply
Reply
Но давайте зададим вопрос: почему формальные системы кто-то может считать "ущербными"?
Мне кажется потому, что математики в массе своей „вавилоняне“ (не хочу говорить о платонизме, потому что до Платона здесь еще дальше, чем до Гегеля), людям свойственно стремиться придать важность, а то и исключительность своему занятию. Это стремление имеет весьма почтенную историю, раньше то же самое делали поэты, ещё раньше земледельцы и охотники, усматривавшие в своей деятельности контакт с высшим и окружавшие его соответствующими ритуалами и традициями. Да вы сами это отлично знаете: типичная реакция профессиональных математиков на достаточно очевидную идею о пользе механической верификации доказательств весьма показательна (мы тут созерцаем трансцедентальное, какие компьютеры?). Считается, что „манипуляции символами“ это что-то второсортное, по сравнению с Приобщением к Духам Урожая, пардон, Истинной Модели Натурального Ряда. :-)
Ответ, наверное, состоит в том, что они не оправдали неких возлагаемых на них ожиданий.Ну это было бы странно. ( ... )
Reply
Reply
Reply
в начале были слово и истинна,
но не было слов, синтаксиса и доказательств
за их ненадобностью.
потом слова размножились, породив надобность
в доказательствах их истинности и синтаксисе,
и утопили истину в них.
Reply
Reply
из слова одного
и начался рас-с-каз
про это и про то
и у-казуют руки
на полную луну
где ползают науки
по илистому дну
а если кто до-кажет
что это есть не то
жестоко всех на-кажем
отправим в эрато
Reply
Reply
Reply
Reply
Если да, то мне другое интересно. Как устанавливается истинность моделей, если мы говорим о ней отдельно от верности структуры? Каждый раз по-своему?
Reply
Что касается истинности моделей, то тут нужно понимать одну вещь: математическая логика существует в двух ипостасях, как обычный раздел математики, и как инструмент в "основаниях математики". В основаниях нужна некоторая осторожность, но в обычном применении всё достаточно просто: модели это те же самые математические объекты и их свойства изучаются стандартным математическим способом --- о них доказываются теоремы.
Например, чтобы убедиться, что полуплоскость Пуанкаре это модель геометрии, нужно доказать, что в ней выполняются аксиомы нашей формализации геометрии. Это обычные геометрические утверждения, которые можно доказать обычным more geometrico. Т.е. формальная система геометрии моделируется, в данном случае, в "объемлющей" " ( ... )
Reply
Reply
Leave a comment