Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?
Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка ( Read more... )
Но давайте зададим вопрос: почему формальные системы кто-то может считать "ущербными"?
Мне кажется потому, что математики в массе своей „вавилоняне“ (не хочу говорить о платонизме, потому что до Платона здесь еще дальше, чем до Гегеля), людям свойственно стремиться придать важность, а то и исключительность своему занятию. Это стремление имеет весьма почтенную историю, раньше то же самое делали поэты, ещё раньше земледельцы и охотники, усматривавшие в своей деятельности контакт с высшим и окружавшие его соответствующими ритуалами и традициями. Да вы сами это отлично знаете: типичная реакция профессиональных математиков на достаточно очевидную идею о пользе механической верификации доказательств весьма показательна (мы тут созерцаем трансцедентальное, какие компьютеры?). Считается, что „манипуляции символами“ это что-то второсортное, по сравнению с Приобщением к Духам Урожая, пардон, Истинной Модели Натурального Ряда. :-)
Ответ, наверное, состоит в том, что они не оправдали неких возлагаемых на них ожиданий.
Ну это было бы странно. Кантор вот, надеялся через свою Mengenlehre устанавливать свойства божества, а у Пифагора были ещё более грандиозные планы. Мы же не станем из-за этого считать теорию множеств и всю математику ущербными?
То есть они не позволяют вывести все истинные утверждения об интересующих нас объектах. Это факт.
Это не факт, а порочный круг. :-) Вы постулируете существование высказываний истинных „сами по себе“, без доказательств, а потом используете этот постулат для особнования ущербности формализмов и примата истинности.
Ведь они, в отличие от формальных систем, то есть "наук" -- это "зверушки", которых мы изучаем. И какие мы к ним можем предъявлять требования?
Модели это те же самые математические конструкции. Истинность гёделевого высказывания (его выполнимость в стандартной модели) доказывается (стандартным математическим методом: от противного), а не „усматривается“ в объективно существующем натуральном ряде.
Вообще мне этот диалог напоминает средневековые теологические диспуты между христианскими и иудейскими богословами, где первые предъявляли вторым агрументы, основанные на авторитете Нового Завета. Вы исходите из вавилонской точки зрения, ну так и понятно, что греческая с ней не совместима. А для меня представление о истинных сами по себе высказываниях и автономных математических объектах вовсе не очевидно. Помните, вы в свое время, говорили, что мне надо отказаться от презумпции достоверности исторических знаний и исходить из вашей „сомневающейся“ точки зрения? Мне кажется, теперь вам нужно самому сделать подобное усилие.
Я Вас вполне понимаю, но для меня ситуация выглядит примерно так: вот есть только что купленная свежая французская булка, и её можно прямо сейчас скушать :)
Тут как бы получается, что производством новых булок, а обрекаю дорогой моему сердцу сухарь на гниение и забвение. Может быть удастся придать ему более аппетитный вид (соскоблив его ножом, да крох не бросив, а снеся в курятник), заметив, что мне вовсе не представляется, будто там уже всё исчерпано? Наоборот, ваша „трансфинитная“ точка зрения (как я себе ее представляю, в отсутствии явного описания) может быть предметов весьма интересного обсуждения. Вы и сами раньше отмечали, что „ почти не бывало так, чтобы какая-то тема в результате обсуждения выглядела "завершённой, чтобы была какая-то "удовлетворённость". Напротив, всегда кажется, что чего-то немного не хватило“. Так давайте и, взяв здесь таймаут, дожмём „немного“ до „катарсиса“. :-)
Reply
Производством "новых булок" Вы способствуете пробуждению интереса к "хлебобулочным изделиям", к числу которых принадлежит и Сухарь :) Сама мысль о возможности его выкинуть представляется мне "святотатством" :) Моё отношение к этому будет даже "покруче" плюшкинского :)
У меня ведь таких "куличей" по разным журналам скопилось очень много! Зная о Вашей заинтересованности, а также исходя из собственного стремления доводить начатое дело до конца, я присвоил той дискуссии весьма высокую степень приоритетности. Когда я чувствую, что мне позволяет время вернуться к одному из старых обсуждений, я начинаю с Вас. Но мои "физические" возможности ограничены, а я при этом категорически не допускаю отказа от потребления "свежей пищи". Это ведь фактически "выбросило" бы меня из ЖЖ на несколько месяцев, то есть я бы упустил кучу всего интересного и важного. Не говоря о том, что помимо "околонаучных" и "интеллектуальных" дискуссий, ЖЖ для меня выполняет и другую функцию: это как бы часть моей личной жизни. Так что поневоле приходится как-то чередовать одно с другим.
Теперь же -- по сути данного обсуждения.
Суть первого абзаца я понимаю, и со сказанным готов согласиться. То, что Вы вспомнили про автоматическую проверку доказательств -- это тоже хорошо. Здесь я как бы на Вашей стороне.
> Мы же не станем из-за этого считать теорию множеств и всю математику ущербными?
Не станем, но саму мысль Кантора нельзя считать "дискредитированной". В худшем случае, можно ставить вопрос о том, что некая реализация оказалась несовершенной или недостаточной. То есть из самого этого примера никакой "крамолы" извлечь вроде бы не получается.
> Это не факт, а порочный круг
Тут, наверное, один из самых важных моментов, и в нём надо в первую очередь разобраться. Прежде всего, там мысль высказывается от лица "грека", так как с "вавилонской" позицией всем всё ясно. В Вашем посте, где распространённый взгляд на вещи как бы "переворачивается", упоминаются "модели" (которые объявлены "принципиально ущербными" с излагаемой Вами точки зрения. То есть существование этих моделей Вами признаётся -- хотя бы в каком-то смысле. Например, классического натурального ряда -- Вы ведь о нём говорите. Далее я рассуждаю так: если дана модель (то есть "логико-алгебраическая система") определённой сигнатуры, а также дана формула языка первого порядка этой сигнатуры, то на данной модели она либо истинна, либо нет -- в соответсвии со стандартным определением истинности. То есть я не постулирую отдельно существование высказываний, истинных (в некой модели) "самих по себе". Это для меня вытекает из того, что слово "модель" разрешено употреблять.
Ещё мне интересно, каково представление Вашего "грека" о том, что есть "доказательство". Такое ощущение, что это понятие для Вас чуть ли не "абсолютно". Я же могу легко "настрогать" с десяток совершенно разных концепций на этот счёт. Какую из них Вы имеете в виду, употребляя оборот "без доказательств"?
Также я хотел бы здесь задать прямой и однозначный вопрос, ответ на который для меня многое бы прояснил в плане понимания позиции "грека". Возьмём какую-то сложную арифметическую формулу Ф без свободных переменных. Пусть мы при этом не располагаем доказательством ни самой формулы, ни её отрицания ни в какой конкретной приемлемой математической теории. С точки зрения "грека", имеет ли смысл само понятие "формула Ф истинна в классической модели натурального ряда"? Причём смысл максимально "абсолютный"? Если нет, то что предлагается взамен?
> Мне кажется, теперь вам нужно самому сделать подобное усилие.
Так я ничего не имею против, но я пока не вижу альтернативы! В случае истории всё просто: там сомнению подвергается достоверность каких-то фактов, считающихся твёрдо установленными. Правомерны ли эти сомнения, это отдельный вопрос, но тут хоть что-то можно предложить взамен. А что Вы мне бы порекомендовали вместо классического натурального ряда? Неужели какую-то из нестандартных его моделей? Или что-то вообще другое?
В данном случае Ваша точка зрения кажется мне просто недовысказанной. То есть я не знаю, какие положения Вами признаются и принимаются. То есть я к тому, что надо бы понять, в какой "пункт назначения" хочет прибыть "грека" :)
Reply
Не станем, но саму мысль Кантора нельзя считать "дискредитированной". В худшем случае, можно ставить вопрос о том, что некая реализация оказалась несовершенной или недостаточной. То есть из самого этого примера никакой "крамолы" извлечь вроде бы не получается.
Я тоже не вижу здесь никакой крамолы, но, боюсь, это из-за недопонимания. :-) Попробую выразиться яснее: вы предположили, что формальные системы считают ущербными потому, „что они не оправдали неких возлагаемых на них ожиданий“. Я понял это как ссылку на финитистскую программу Гильберта (термин неудачный, хотя бы и грамматически: „финитистский“ это относящийся к „финитисту“, т.е. человеку, как и „туристский“, и конечно „педантский“ :-) ). Мне кажется, что из „краха“ конкретной программы Гильберта, нельзя вывести никакой крамолы в отношении формализмов в целом, что я и пытался продемонстировать примерами других известных „крахов“.
Тут, наверное, один из самых важных моментов, и в нём надо в первую очередь разобраться.
Согласен. С греческой точки зрения, в утверждении „они не позволяют вывести все истинные утверждения об интересующих нас объектах“ проблематично прежде всего само представление о том, что формальная арифметика и ее модель изучают одни и те же объекты. В другом комментарии было замечено, что с точки зрения последовательного грека, свойства математических объектов и их сущность суть совокупность доказуемых о них утверждений. Свойства объектов формальной арифметики т.с. „формальных чисел“ это совокупность всевозможных доказательств в формальной арифметике (гёделевого высказывания среди них нет), а свойства объектов некой данной модели натурального ряда, т.с. „модельных чисел“, это всё, что мы можем доказать о этой модели в „неформальной математике“, внутрь которой она погружена. Вообще говоря, нет никаких оснований заранее считать, что эти объекты одинаковы. И действительно, оказывается, что они разные: в неформальной математике можно доказать утверждения, соответствующие недоказуемым в погруженной в неё формальной арифметике, но, к сожалению, не во всех моделях.
Такое ощущение, что это понятие для Вас чуть ли не "абсолютно".
Вовсе нет. Я согласен, что понятие доказательства очень широко, но мне не кажется, что в данном случае требуется его сужение (за исключением, очевидно, доказательств в формальной теории). Если вы считаете, что греческая точка зрения влечёт какие-то ограничения на класс допустимых доказательств, то было бы интересно узнать почему.
Также я хотел бы здесь задать прямой и однозначный вопрос, ответ на который для меня многое бы прояснил в плане понимания позиции "грека". Возьмём какую-то сложную арифметическую формулу Ф без свободных переменных. Пусть мы при этом не располагаем доказательством ни самой формулы, ни её отрицания ни в какой конкретной приемлемой математической теории. С точки зрения "грека", имеет ли смысл само понятие "формула Ф истинна в классической модели натурального ряда"?
Нет не имеет.
Если нет, то что предлагается взамен?
Мне кажется было бы полезно сначала обосновать зачем нужно что-то взамен. В каких случаях это нечто необходимо? Приведите пример такого Ф.
А что Вы мне бы порекомендовали вместо классического натурального ряда? Неужели какую-то из нестандартных его моделей? Или что-то вообще другое?
Тут мне пришла в голову вавилонская аналогия: „да неужто вы предлагаете заменить Иштар на Мардука?“ :-) Даже не на Христа и Дж. Смита. Лучше заниматься сравнительным анализом религий. Почему классический натуральный ряд так важен?
Reply
Вот это-то мне как раз и не нравится, потому что состояние наших знаний меняется, а изучаемые объекты остаются теми же самыми. Множество простых чисел всегда было бесконечно "само по себе", а мы (с помощью Евклида) этот факт всего лишь открыли.
> Если вы считаете, что греческая точка зрения влечёт какие-то ограничения на класс допустимых доказательств, то было бы интересно узнать почему.
Я считаю, что "сужение" происходит тут само по себе из-за ограниченности подхода. Скажем, вчера какого-то метода доказательств не было, а сегодня он появился, и его стали применять. Значит, наши вчерашние представления были неполными. Может, сегодняшние, наконец-то стали "полными"? Товарищ Гёдель уверяет нас в том, что и это не так.
> Нет не имеет.
Я задавал этот вопрос с целью понять, в какой мере Ваша "отрицающая" позиция является "радикальной". Теперь я понимаю, что в очень сильной степени.
> Приведите пример такого Ф.
"Такого" -- это какого? Мне кажется, пример должен исходить от Вас, потому что Вы отрицаете понятие истинности арифметических формул (на классической модели). Тогда было бы уместно привести такой пример формулы Ф, что ни её саму, ни её отрицание нельзя считать истинными. Точнее, тут подошёл бы любой пример открытого в математике вопроса, поэтому лучше было бы взять дизъюнкцию Ф or not(Ф). С точки зрения "классической", это есть нечто тождественно истинное, а с Вашей, насколько я понимаю, нет. Тогда Вы мыслите что-то третье, которое для "классика" -- non datur. И вот я хотел бы понять, как для Вас этот случай мог бы выглядеть.
И давайте я всё-таки приведу пример: будем говорить об арифметике целых чисел, и рассмотрим уравнение x^3+y^3+z^3=33. Добавим кванторы существования по всем переменным, и пусть это будет наша формула Ф. Вы можете как-то описать возможное положение вещей в природе, когда она и не истинна, и не ложна?
Ну или возьмём какое-то очень большое число типа N=10^{10^10}, до которого "нельзя досчитать", и применим к нему теоретико-числовую функцию π -- количество простых, не превосходящих данного. Теперь в качестве формулы Ф возьмём утверждение "п(N) чётно". Я не знаю, истинно ли оно, и вряд ли кто-то это знает, но я вижу способ, при помощи которого в этом потенциально можно убедиться. Наличие такого способа для Вас влечёт какие-то следствия?
На вопрос "почему классический натуральный ряд так важен" я бы охотно ответил, но я не знаю, что Вы тут пытаетесь выяснить. Вроде бы мы признаём важность математики хотя бы в её "традиционном" срезе. Сюда входит тогда и "царица математики", то есть арифметика, которая этими вопросами и занимается: она изучает натуральный ряд и свойства чисел, его составляющих. Гипотеза Римана важна? Если Вы скажете, что нет, то я боюсь, что Вас могут не понять.
Сейчас я "дрожащим голосом" и очень осторожно сообщаю, что если в ближайшие минуты не произойдёт светопреставления или какого-то ещё "форс-мажора", то я Вам напишу ответ в ветке про Магеллана :)
Reply
состояние наших знаний меняется, а изучаемые объекты остаются теми же самыми.
Вы опять исходите из вавилонской точки зрения, причём в весьма радикальной форме, утверждающей, что математические открытия сродни географическим. Между континуумом Евклида и, скажем, Цермело-Френкеля, весьма мало общего. Сравните идею о том, что математические объекты „одни и те же“ с представлением что языки не меняются: раз язык назывался (якобы) русским тысячу лет назад, то это и есть та же самая идеальная сущность у которой лишь поменялись некие „атрибуты“. На самом же деле, границы таких сущностей совершенно произвольны.
Скажем, вчера какого-то метода доказательств не было, а сегодня он появился, и его стали применять.
Они стали представлениями о других вещах, т.к. сущности и определяется доказуемостью.
Мне кажется, пример должен исходить от Вас, потому что Вы отрицаете понятие истинности арифметических формул (на классической модели).
Да, а вы спросили, что предлагается взамен. Я хотел уточнить, зачем нужно что-то взамен, т.е. когда для нас интересна истинность формулы без доказательства. Для понимания этого было бы неплохо рассмотреть пример формулы в каком-либо смысле истинной без доказательства.
поэтому лучше было бы взять дизъюнкцию Ф or not(Ф). С точки зрения "классической", это есть нечто тождественно истинное, а с Вашей, насколько я понимаю, нет.
Тут какое-то недоразумение. Формула <Ф or not(Ф)>, как и всякая тавтология, доказывается исчислением высказываний, значит она будет для „грека“ истинной.
Мне кажется я понял смысл приводимых вами далее примеров. Очень удачно, что вы заговорили про различные типы доказательств. Например, для гипотезы Римана у нас нет доказательства, но есть некие более слабые „пре-доказательства“, вроде информации о распределении первых нетривиальных нулей. Соответственно, хотя для „грека“ эта гипотеза и не истинна, она в некотором смысле „немножко истинна“ (или „почти истинна“).
Что касается „картины мира“ то, насколько я понимаю, вы видите проблему в том, что всякая замкнутая формула может быть проинтерпретирована в Истинном Идеальном Натуральном Ряде, который обладает свойствами наших неидеальных математических моделей, а именно, в нём всякое высказывание может быть (разными способами) помечено символом из алфавита {T, F}. Но в греческом мире вообще нет ИИНР, поэтому нет и проблемы.
"царица математики", то есть арифметика, которая этими вопросами и занимается: она изучает натуральный ряд и свойства чисел, его составляющих.
Это опять же вавилонский взгляд на вещи. На самом деле, объективно наблюдаемая активность математиков состоит в построении доказательств. Вполне возможно, что некоторые или многие математики считают, что таким образом они причащаются мира горнего, примерно как крестьяне, певшие ритуальные песни во время молотьбы. Как известно, „учёные разбираются в методологии науки так же, как рыбы в гидродинамике“. :-)
Давайте попробуем подойти в вопросу с другой стороны. Рассмотрим противоречивые формальные теории. У них нет моделей. В том числе им, насколько я понимаю, не соответствует никаких вавилонских эйдосов. Однако, математики совершенно нормально и продуктивно работают в таких теориях: всякое доказательство от противного начинается с осознанного перехода в такую теорию. Получается, что значительная часть математической активности происходит заведомо вне „царства эйдосов“.
Сейчас я "дрожащим голосом" и очень осторожно сообщаю, что если в ближайшие минуты не произойдёт светопреставления или какого-то ещё "форс-мажора", то я Вам напишу ответ в ветке про Магеллана :)
Замечательно! Я непременно отвечу в ближайшее время.
Reply
Ведь именно фактор "неизменности" и лежит в основе представления о том, что "мир чисел" в каком-то смысле "существует".
Далее, я хотел бы уточнить, что Вы понимаете под "доказательством". Если это есть какое-то средство установления истинности фактов, то это одно. С таким толкованием я бы мог согласиться, но тогда в основе должно лежать представление об истинности. Если же речь о формальных выводах в каких-то исчислениях, и "доказательством" считается только это, тогда Вы стоите на позиции "комбинаторной игры в символы". Такая точка зрения кажется мне слабой, потому что многие содержательные исследования перестают иметь такую форму. Например, кто-то предложил новую аксиоматику чего-нибудь -- он при этом ничего не "вывел". Вот принцип математической индукции сам по себе ведь полезная вещь? А его когда-то "открыли" или "придумали". С моей точки зрения, к нему пришли естественным путём в процессе "созерцания эйдосов". А с Вашей?
> рассмотреть пример формулы в каком-либо смысле истинной без доказательства
Это мне немного напоминает пример Рассела с наименьшим числом, о котором никто никогда не думал :) Если слово "доказательство" понимать как "установление истинности", то само заявление об истинности уже предполагает какое-то "доказательство" в широком смысле этого слова. То есть тут мы никакого примера не найдём.
> Тут какое-то недоразумение.
Это действительно так, но не с моей стороны. Дело в том, что Ф or not(Ф) лишь в предположении "осмысленности" Ф. А у нас "конфликтный" вопрос как раз этого и касается!
Вы, кстати, говорите, что эта формула для "грека" будет "истинной", но не уточняете, в каком именно смысле. Ведь если исходить из классического определения истинности, то получается, что либо Ф следует считать истинной, либо таковой следует считать не-Ф. Я, собственно, об этом изначально и спрашивал. То есть в качестве примера берём сложно устроенную замкнутую арифметическую формулу Ф с "неясным" смыслом. "Платонист", конечно, считает, что либо Ф истинна "абсолютно", либо не-Ф. "А что у вас?" (с)
Сейчас я приведу ещё вот какой пример. Он важен в том смысле, что не опирается на слишком сильный постулат о существовании ИИНР. Рассмотрим уравнение x^3+y^3+z^3=33. Науке на данный момент неизвестно, имеет ли оно решение в целых числах. Можно написать простую программу, которая перебирает все тройки и подставляет их в уравнение. Тогда факт истинности или ложности утверждения о существовании решения будет равносилен факту остановки или бесконечной работе "вычислителя", соответственно. Что на этот счёт думает "грек"? Верит ли они здесь в правомерность применения принципа "или-или"? Мне бы хотелось узнать чёткий и определённый ответ.
Моя мысль вот какова: если Вы скажете "да", то я могу чуть усложнить пример формулы. И если ответ везде будет "да", то тогда его можно обобщить на все случаи. Но ведь если дял каждой из замкнутых формул подразумевается ответ "да" или "нет", то совокупность всех таких "правильных" ответов и есть ИИНР "собственной персоной"! Поскольку Вы в это не верите, я хочу Вас "поймать" на какой-то конкретной формуле, для которой принцип "или-или" Вы отвергаете. И тогда уже можно было бы расследовать, почему.
> объективно наблюдаемая активность математиков состоит в построении доказательств
Как я показал выше, она состоит не только в этом.
> учёные разбираются в методологии науки так же, как рыбы в гидродинамике
Уж с чем-чем, а с этим-то я всецело соглашусь! :)
Пример с противоречивыми теориями мне совершенно понятен, но он мне кажется неинтересным. Совершенно ясно, что "объктом", который при этом изучается, является не модель, удовлетворяющая противоречивым требованиям (хотя и её можно было бы искусственно ввести как особый "эйдос" типа программистской ссылки с "несуществующим" адресом), а всего лишь множество утверждений, выводимых по определённым правилам. Это вполне себе "эйдос", легко описываемый даже в терминах комбинаторики.
Reply
Можно ли представить себе что-то подобное на базе арифметики? Типа, свойства чисел со временем "развиваюццо"? :)
Давайте сделаем шаг назад. Вы правильно отметили, что я хочу посмотреть на результаты Гёделя как бы с другого "края". Краёв получается два: греческий и вавилонский. По идее мы их сравниваем. Мне кажется достаточно очевидным, что для при обсуждении того, как одна из позиций справляется с описанием некоторой ситуации, нельзя использовать аргументы, предполагающие согласие с противоположной позицией (я уже пытался описать эту проблему ссылкой на средневековые диспуты). Например, я разумеется понимаю, что у вас есть серьёзные основания считать числа некоей вневременной автономной сущностью, обладающей свойствами, которые математики изучают. Однако, опираться на эти основания для критики положения о том, что „ с точки зрения последовательного грека, свойства математических объектов и их сущность суть совокупность доказуемых о них утверждений“ бессмысленно, потому что, если вы уже встали на вавилонскую точку зрения, то греческая тем самым исключена и обсуждать нечего.
Здесь полная симметрия с обсуждениями истории, где на ваши сомнения вам отвечали, что, мол, нужно книжки читать.
В частности, для грека, повторю, свойства чисел есть то, что про них можно доказать и они, разумеется, меняются со временем. Евклид бы не оценил множества Витали.
С моей точки зрения, к нему пришли естественным путём в процессе "созерцания эйдосов". А с Вашей?
С моей точки зрения принцип индукции был выделен индукцией (т.е. обобщением) по существовавшим доказательствам. Я не считаю, что доказательства устанавливают какие-либо „факты“ за пределами формальной системы, где они проводятся.
То есть тут мы никакого примера не найдём.
Раз таких Ф нет, то что, собственно, теряется от объявления предложения „Ф истинно“ бессмысленным?
Дело в том, что Ф or not(Ф) лишь в предположении "осмысленности" Ф
Сама формула Ф предполагается осмысленной (т.е. правильно-построенной, well-formed). Если же вы про то, что Ф приписано какое-то truth value, то исчисление высказываний можно изложить полностью синтаксически.
Вы, кстати, говорите, что эта формула для "грека" будет "истинной", но не уточняете, в каком именно смысле.
Прошу прощения. Я пытался изложить ответ в терминах вопроса. Можно считать „истинно“ синонимом „доказуемо“, когда оно произносится греком.
Верит ли они здесь в правомерность применения принципа "или-или"? Мне бы хотелось узнать чёткий и определённый ответ.
С точки зрения грека, протокол работы этой программы и будет неким доказательством (бесконечной длины) Ф. Принцип „или-или“ есть утверждение о том, что формальная арифметика с такими экзотическими правилами построения доказательств - полна.
Но ведь если дял каждой из замкнутых формул подразумевается ответ "да" или "нет", то совокупность всех таких "правильных" ответов и есть ИИНР "собственной персоной"!
Боюсь я опять вижу здесь порочный круг. Чтобы построить таким образом идеальный и автономный ряд натуральных чисел, нужны идеальные и автономные вычислительные машины, которые, разумеется, уже подразумевают ИИНР.
Совершенно ясно, что "объктом", который при этом изучается, является не модель, удовлетворяющая противоречивым требованиям..., а всего лишь множество утверждений, выводимых по определённым правилам.
Этот аргумент кажется мне весьма искусственным. В математической практике доказательства от противного одноранговы „обычным“ доказательствам. Было бы весьма странно считать, что начиная доказательство от противного, математик внезапно перескакивает от изучения модели к изучению мета-модели. Насколько я знаю из личного опыта и из общения с другими математиками, введя гипотезу, вносящую противоречие, мы продолжаем думать о математических объектах и их соотношениях (хотя никакой модели уже не существует), а не рассуждаем о системе утверждений.
Reply
А просто "здравые" аргументы, которые не предполагают априорную принадлежность к одной из позиций, приводить можно? У Вас получается, что "развитию" подвержены сами свойства чисел, в то время как у меня -- состояние наших знаний. Вторая точка зрения мне кажется более естественной, потому что там можно указать на причину изменений.
Кроме того, если в двух разных уголках земного шара так получилось, что уровень знаний оказался разным, а изучается вроде бы "одно и то же", то чью точку зрения считать "образцовой"?
> для грека, повторю, свойства чисел есть то, что про них можно доказать
Даже в такой формулировке присутствует другой смысл. "То, что можно доказать" обладает уже некоторой степенью объективности (скажем, "2x2=5" Вы не докажете, так как это неверно). А вот то, что доказали на сегодняшний день -- это вещь "изменчивая" и потому малоинтересная.
Кроме того, я в очередной раз ставлю вопрос, что Вы понимаете под "доказательством". Это чисто интуитивная вещь, или вывод в ZFC, или то, что будут понимать под этим люди XXII века? Вы дайте хотя бы краткое толкование, а то многие вопросы стали в это явно "упираццо".
> Евклид бы не оценил множества Витали
Здесь проблема в многозначности понятия "числа". Ясно, что до какого-то момента не было никаких чисел кроме рациональных. В таком контексте говорить о множестве Витали невозможно. Однако я не вижу никаких изменений, которые бы затронули понятие натурального числа. Здесь Вы можете привести пример какой-нибудь "эволюции" взглядов?
> принцип индукции был выделен индукцией (т.е. обобщением) по существовавшим доказательствам
Вот это мне уже больше нравится! Но заметьте, что до этого обобщения не было самой формальной системы аксиом Пеано, а какие-то рассуждения проводились. Например, люди умели доказывать, что 1+2+...+n = n(n+1)/2. Причём мне интересно "греческое" мнение насчёт того, получаются ли за счёт формальных и словесных манипуляций какие-то "верные" выводы с точки зрения "обиходного" толкования. Типа того, что если подставить в обе части число, то результат должен совпасть. Я думаю, Вы так всё-таки считаете, а тогда получается, что доказательства хотя бы отчасти дают истинные уже в другом смысле результаты, то есть эмпирически проверяемые. Поскольку Вы отождествили истинность с доказуемостью, то можно такие факты называть "верными".
> что, собственно, теряется от объявления предложения „Ф истинно“ бессмысленным?
Для меня как "эмпирика" теряется факт получения знаний об окружающей нас действительности. Это как минимум.
> формальная арифметика с такими экзотическими правилами построения доказательств - полна
Но ведь при таком подходе вообще исчезает "демаркационная линия" между "Грецией" и "Вавилоном"! Становится возможным сварить "суп из топора". Истинность арифметических формул тогда вполне описывается в рамках программ, которые могут работать "ординальное" время. Я думаю, не надо пояснять этот довольно стандартный ход мысли?
> нужны идеальные и автономные вычислительные машины, которые, разумеется, уже подразумевают ИИНР
Не совсем так: это предположение об "идеальных машинах" всё-таки выглядит для меня чуть более "слабым". Хотя ясно, что тут должно быть что-то, выходящее за рамки "осуществимого" опыта.
> мы продолжаем думать о математических объектах и их соотношениях
Ну вот пусть мы решаем какую-то систему линейных уравнений, которая несовместна. Естественно считать, что мы думаем при этом о множестве её решений. Это на самом деле так, и тут нет "искусственности". Это множество оказывается пустым, только и всего.
Reply
А просто "здравые" аргументы, которые не предполагают априорную принадлежность к одной из позиций, приводить можно?
Конечно можно, но...
У Вас получается, что "развитию" подвержены сами свойства чисел, в то время как у меня -- состояние наших знаний.
У „нас“ нет разницы между свойствами чисел и тем, что про них известно. Предполагать, что существуют свойства чисел, независимые он наших знаний это значит наделять числа автономным статусом.
Вторая точка зрения мне кажется более естественной, потому что там можно указать на причину изменений.
А мне кажется ровно наоборот. :-) Что такое „наши знания“ мы вроде бы понимаем. Затем вводится новая сущность - ИИНР о, котором (якобы) наши знания. Возникает вопрос о том, как теперь описать явно наблюдающиеся изменения, и затруднение блестяще разрешается вспоминанием того, что кроме неизменного ИИНР есть ещё и знания! Тут всё хорошо, кроме того, зачем этот ИИНР вообще был нужен.
чью точку зрения считать "образцовой"?
Боюсь я не совсем понимаю вопрос. Если „уровни знания“ вложены, например, Б знает всё, что знает А, плюс результат Х, то ответ вроде бы очевиден. Если же уровни „несоизмеримы“ (разные определения, разные результаты), то непонятно, что имеется в виду под образцовостью. Если ограничиться приложениями математики к какой-то конкретной практической области, то там скорее всего будут какие-то критерии эффективности, но вряд ли они будут согласованы по всем возможным областям.
скажем, "2x2=5" Вы не докажете, так как это неверно... А вот то, что доказали на сегодняшний день -- это вещь "изменчивая" и потому малоинтересная.
Во-первых, как вы сами только что продемонстрировали, не такая уж и изменчивая. :-) Во-вторых, мне кажется, что вы опираетесь на некий критерий интересности, явно его не сформулировав. Хоть я его и не знаю, мне кажется достаточно очевидным, что он не универсален. Есть много интересных изменчивых вещей. Более того, идея о том, что только вечное („нетленка“) достойно нашего времени кажется мне весьма характерной для вавилонского взгляда на вещи с его приматом эйдосов.
Кроме того, я в очередной раз ставлю вопрос, что Вы понимаете под "доказательством". Это чисто интуитивная вещь, или вывод в ZFC, или то, что будут понимать под этим люди XXII века? Вы дайте хотя бы краткое толкование, а то многие вопросы стали в это явно "упираццо".
И то, и другое и третье. Разные доказательства приводят к разным объектам.
Однако я не вижу никаких изменений, которые бы затронули понятие натурального числа.
Скажем, Евклид не оценил бы идею неразрешимого множества или структуру счётной модели ZFC или не главный ультрафильтр на \omega да и много чего другого.
Типа того, что если подставить в обе части число, то результат должен совпасть.
Греческое мнение тут в том, что такое совпадение можно доказать ((\forall x P(x)) \ergo P(n)). Что же касается, скажем, подсчёта тигров (а не подстановки чисел), то как раз в вавилонской точке зрения возникает необходимость объяснять, почему результаты идеальных умозрительных построений вдруг оказываются столь удачно применимы на практике. Лет 300 назад не стеснялись прямо ссылаться на божественное устроение, а теперь вот приходится объяснять the unreasonable efficiency of mathematics. Конечно, правдоподобные объяснения придумать можно, что сам факт того, что имеется „чудо“, требующее объяснения, весьма характерен.
[что, собственно, теряется от объявления предложения „Ф истинно“ бессмысленным?]
Для меня как "эмпирика" теряется факт получения знаний об окружающей нас действительности.
Мне кажется, здесь потерялся некоторый контекст. Вы спросили, имеет ли смысл выражение „Ф истинно“, когда для Ф нет ни доказательства, ни опровержения. Нет. Вы спросили, что предлагается взамен. Я попросил привести пример такого Ф, чтобы понять, что нужно взамен. Выяснилось, что таких Ф нет. Тогда возникает вопрос, зачем нужно что-либо взамен, если ничего не теряется (т.к. описанных ситуаций не бывает).
[Окончание следует.]
Reply
[Окончание.]
Но ведь при таком подходе вообще исчезает "демаркационная линия" между "Грецией" и "Вавилоном"!
Разумеется! Если для вас истинность это то, что устанавливается неким доказательством, пусть даже и в форме полной индукции, то, καλωσόρισμα, falcao. :-)
предположение об "идеальных машинах" всё-таки выглядит для меня чуть более "слабым"
Если я правильно понял конструкцию вашего проверяющего автомата, то он эквивалентен машине Тьюринга. Это вроде бы в точности ИИНР.
Естественно считать, что мы думаем при этом о множестве её решений.
Давайте, для примера, рассмотрим какое-либо известное доказательство от противного. Например, бесконечности числа простых, раз уж я вызвал дух Евклида. Оно немедленно переходит в противоречивую теорию у которой нет моделей. Тем не менее, мы продолжаем оперировать с „объектами“ этой теории, т.е. числами: составляем их произведения, суммы, изучаем делимость - всё это при отсутствии хоть одной модели. В математической практике объекты, используемые в ходе доказательства от противного, ничем не отличаются от „обычных“. Однако, первым не соответствует никаких идеальных объектов. Следовательно, математическим объектам не соответствуют никакие идеальные объекты.
Конечно, можно „наложить заплатку“, для спасения эйдосов: сказать, что математики „как-будто“ переходят в мета-систему, или какой-то другой „особый режим“ работы. Однако сам факт того, что такая заплатка необходима показывает, что вавилонская точка зрения неправильно описывает функционирование значительной части математики.
Reply
> Предполагать, что существуют свойства чисел, независимые он наших знаний это значит наделять числа автономным статусом.
Это я понимаю, но именно по такой причине мне Ваша точка зрения и представляется "экзотической". Получается, что "зоология" есть, а "жЫвотных" -- нет! :)
> зачем этот ИИНР вообще был нужен
Например, для того, чтобы обосновать тот феномен, что ответы на осмысленные вопросы от нас в принципе не зависят. Мы можем узнать или не узнать ответ на какой-то вопрос, но если так было, что он "от природы" был "да", то невозможно себе представить, чтобы на него был получен ответ "нет", и наоборот.
> Если „уровни знания“ вложены
Давайте возьмём случай, когда есть какая-то общая основа, но при этом в Европе умеют доказывать факт X, а в Индии этого не умеют, зато могут доказать факт Y.
> не такая уж и изменчивая
Почему же? Когда доказали новый факт, то согласно вашей точке зрения всё изменилось! Для меня неизменность присутствует в том, что ответ всегда предопределён, а что Вы думаете по этому поводу?
> что вы опираетесь на некий критерий интересности, явно его не сформулировав
В точности так же, как Вы по отношению к доказательствам! Категория "интересности" -- "исторична", и у Вас так же обстоит дело с доказательствами. Но я не могу счесть "историчной" категорию истинности. Ведь применительно к математике это никак не зависит от того, победил на выборах Гор или Буш?
> идея о том, что только вечное („нетленка“) достойно нашего времени
Эта идея чисто "внешняя", и её можно принимать или не принимать. То есть это что-то на уровне эстетических предпочтений. Но в любом случае есть Пушкин, а есть граф Хвостов :)
> Евклид не оценил бы идею неразрешимого множества
Честно говоря, я не знаю. Возможно, если бы он прослушал курс теории алгоритмов, то мог бы и оценить. Ультрафильтры, кстати, находятся уже несколько на другом уровне. Можно опираться на идею ИИНР в "слабой" форме, то есть брать за основу некий язык, где об ультрафильтрах говорить нельзя.
> такое совпадение можно доказать
Тут происходит некая подмена. Если на математические рассуждения смотреть как на "манипуляцию с символами", то совершенно непонятно, как получается, что человек, умеющий считать, но не знающий теории доказательств, получает совпадение результатов прямых вычислений для 1+2+...+n и n(n+1)/2. И как раз именно в этой связи обычно и поднимают вопрос о "непостижимой эффективности", который для "платониста" вообще не возникат. Было бы смешно говорить о "непостижимой эффективности зоологии" в контексте того, что "у кошки четыре ноги" :)
Для "платониста" любое доказательство -- это разговор об объекте и его свойствах, а формальная запись совершенно "вторична". То, что вошёл в моду "атеизм", ставший наряду с Богом отрицать Идеальное -- это и послужило причиной возникновения "псевдовопроса" насчёт efficiency.
TBC
Reply
Мне тоже так показалось, поэтому я предлагаю зайти с другого конца -- это к вопросу о выявлению требуемого примера формулы Ф или её "эквивалента".
Будем рассматривать подмножества декартовой степени Z. Какие-то из них могут быть очень сложными, и в этом смысле "не существовать" для Вас. Но есть совсем простые, и их Вы должны всё-таки в каком-то смысле признать "существующими". В качестве таковых я предлагаю взять пока что все арифметические свойства, задаваемые диофантовыми уравнениями вида P(x1n)=0. Про такие множества, наверное, можно утверждать, что они "существуют" или "явно заданы".
Далее рассматрим две стандартные операции: переход от множества к его дополнению, а также взятие проекции на все координаты кроме одной. Понятно, какой класс множеств получается в результате применения этих операций к множествам из предыдущего абзаца.
Далее возникат дилемма: или признать все такие множества "существующими" (или "хорошо определёнными"), что в каком-то равносильно принятию ИИНР. Либо долно найтись "хорошее" множество M, у которого либо дополнение, либо проекция есть множество уже "плохое". Это как раз примерно тот пример, который я бы хотел увидеть. Допускаю, что Вы его можете не иметь в наличии, но меня устроила бы твёрдая Ваша вера в то, что он может быть обнаружен и указан.
> καλωσόρισμα
На это мне хочется сказать "нет, уж лучше вы к нам!" :) Дело в том, что я у Вас уловил момент "незаконного" проникновения на "вавилонскую" территорию, в связи с чем и поставил вопрос насчёт "супа из топора".
> Это вроде бы в точности ИИНР.
Я всё-таки хотел бы говорить об "ослаблении", потому что тезис о существовании ИИНР скорее философский, и на принятие его "греком" я рассчитывать в принципе не могу. Но я тогда начинаю говорить об арифметических множествах, как выше, и такие конструкции вроде бы более приемлемы, ибо они "конструктивны". О машинах тоже можно было бы говорить, наверное, но там пришлось бы рассматривать такие отсутствующие в природе устройства, которые совершают бесконечную серию операций за "конечное время". Поэтому я предлагаю рассматривать пример с множествами -- так больше шансов что-то прояснить.
> мы продолжаем оперировать с „объектами“ этой теории
Правильно ли я понимаю, что Вы просто берёте пример рассуждения в "невозможной ситуации"? И констатируете тот факт, что мы какое-то время рассуждаем об объекте, который существовать не может. И тогда вполне законно спросить, что коль скоро тут мы рассуждать можем, а "объекта" в принципе нет, то почему бы тогда не считать, что арифметика как набор рассуждений есть, а "мира чисел" -- нет?
Я думаю, разрешить возникшую трудность легко. Можно считать, то мы в каждый момент рассматриваем нечто существующее. Но имеем в виду не один "эйдос" (или не одну "модель"), а несколько. В одном "мире" x=1, в другом же -- x=2. Каждый из этих двух "миров" непротиворечив, и он существует. МЫ лишь в какой-то момент эти две модели сравниваем, и убеждаемся, что они разные, то есть они не могу совпадать, и тем самым приходим к выводу, что не может одновременно быть x=1 и x=2. Аналогичный "финт" можно и с евклидовым доказательством осуществить.
Грубо говоря, если я прихожу к несовместимости каких-то двух положений (скажем, "мяукает" и "охотится на глухаря"), то я поочерёдно представляю себе кошку и собаку, а потом выясняю для себя, что это разные звери. Отсюда, понятное дело, никак нельзя заключить, что в природе нет ни собак, ни кошек.
Reply
Получается, что "зоология" есть, а "жЫвотных" -- нет! :)
И действительно. Ритуальный танец исполнили? Исполнили. На охоте тигра (хе-хе) убили? Убили. Так как же вы говорите, что духов охоты нет? Экзотика какая-то.
Заметьте, что архитекторы и кораблестроители вроде обходятся без веры в „идеальную хрущёвку“ и „абсолютный авианосец“.
невозможно себе представить, чтобы на него был получен ответ "нет", и наоборот.
Весьма возможно. См. ниже.
в Европе умеют доказывать факт X, а в Индии этого не умеют, зато могут доказать факт Y.
Повторю, что я не понимаю, как в данном случае определяется „образцовость“. С вавилонской точки зрения, образцом будет Европа или Индия и почему? Получается, что на множестве всех теорий, пополненных „идеальными теориями“, определена метрика?
Почему же [не такая уж и изменчивая]?
Мне просто показалось забавным, что вы отметили изменчивость доказуемого немедленно после указания на его неизменность (доказать, что 2x2=5 невозможно).
В точности так же, как Вы по отношению к доказательствам! Категория "интересности" -- "исторична", и у Вас так же обстоит дело с доказательствами.
Т.е. тут мы вернулись к тому, что „ людям свойственно стремиться придать важность, а то и исключительность своему занятию“ - с чем мы вроде бы согласились.
Ведь применительно к математике это никак не зависит от того, победил на выборах Гор или Буш?
В такой постановке от этого не зависит и доказуемость.
Но в любом случае есть Пушкин, а есть граф Хвостов :)
Соглашусь, что математические объекты настолько же объективны, насколько объективно преимущество Дмитрия Ивановича перед Александром Сергеевичем (или наоборот).
Возможно, если бы он прослушал курс теории алгоритмов, то мог бы и оценить.
Во-первых, я не могу понять, чем это отличается от ситуации с множествами Витали, во-вторых, мне кажется, что здесь получилось нечто вроде „прочитавший и усвоивший учебник, знает результаты, изложенные в этом учебнике“. Как из этой тавтологии извлечь свидетельства в пользу неизменности математических объектов - непонятно.
Тут происходит некая подмена.
Давайте разберёмся. Если под „умением считать“ понимается навык символьных манипуляция (вроде деления уголком), то доказать, что результаты такого счёта будут совпадать с тем, что требуют формулы, конечно, можно. Если же, под умением считать понимается умение загибать пальцы, когда баран проходит через ворота, то именно вавилонская точка зрения приводит к трудностям.
[Окончание следует.]
Reply
[Окончание.]
Простой пример. Посчитано, допустим, что за промежуток между двумя закатами солнца 1 Стандартная Вавилонская Курица несёт 2 яйца. Определив, посредством счёта, что за отчётный период имело место 7 закатов, можно задать оракулу Мардука-ИИНР вопрос, сколько яиц снесла СВК. Ответ - 2х7=14, о чудо! - согласуется с результатами счёта, несомненно подтверждая благоговение божества к продовольственной программе Вавилона.
Но злобные клеветники спрашивают: что будет если к числу закатов прибавить количество яиц в день, и какая процедура счёта проверит результат? Ответ оракула, видимо, будет: вопрос неправильный (нарушена заповедь „Чти размерность“, или нечто в этом роде).
Т.е. кажущаяся универсальность ИИНР, „ тот феномен, что ответы на осмысленные вопросы от нас в принципе не зависят“, возникает только потому, что круг разрешённых вопросов заранее ограничен теми вопросами, на которые ИИНР даёт правильные ответы.
С точки зрения грека, нет никакой unreasonable efficiency of mathematics - математика применяется там (и так), где (и как) она эффективна, а телега ставится позади лошади. Натуральные числа подходят, чтобы считать мешки с зерном, но не подходят для счёта капелек ртути и лиц в снах, а универсальная применимость арифметики имеет ту же природу, что и универсальная применимость уголовного кодекса. Кстати, некоторое время назад, мы с вами обсуждали трёхмерность пространства, конвенциональность коей вы так убедительно продемонстрировали. Нынешняя ситуация кажется мне похожей.
Будем рассматривать подмножества декартовой степени Z
Либо я неправильно понимаю смысл этого фрагмента, либо произошло недоразумение. В 19-м веке некоторые математики оспаривали правомерность использования „актуальной бесконечности“, например, множества всех целых чисел. Этот спор перпендикулярен нашему: и вавилонянин и грек могут занять в нём любую из позиций. Для вавилонянина это определяется верой в то, какие идеальные объекты существуют „на самом деле“, а для грека - решением то, какой формализм использовать. Грек может использовать формализм, в котором „существуют“ все описанные вами множества, однако это никак не влияет на их онтологический статус.
Дело в том, что я у Вас уловил момент "незаконного" проникновения на "вавилонскую" территорию
Я же уловил ровно обратное: вы определяете истинность через некую доказуемость.
Можно считать...
В этом-то я и вижу проблему: математики так не считают. Т.е., для подгонки наблюдаемой, реальной математики к вавилонской модели, приходится выдумать некую переходную „как-бы математику“.
Reply
потому что он натуральный - естественный и простейший по интуиции :)
при этом на нем все стоит
прелесть
Reply
Reply
Leave a comment