Восток и запад: предпочитает ли бог инициальные алгебры?
Радио, телевидение и попутчики в вечерних электричках уведомят всякого, что „теорема Гёделя о неполноте“ накладывает непреодолимые ограничения на формализацию математики, прокапывая между „доказуемо“ и „истинно“ противопожарную траншею, в которой так удобно петь песни, скатившись даже и с далёкого от математики пригорка ( Read more... )
Что касается истинности моделей, то тут нужно понимать одну вещь: математическая логика существует в двух ипостасях, как обычный раздел математики, и как инструмент в "основаниях математики". В основаниях нужна некоторая осторожность, но в обычном применении всё достаточно просто: модели это те же самые математические объекты и их свойства изучаются стандартным математическим способом --- о них доказываются теоремы.
Например, чтобы убедиться, что полуплоскость Пуанкаре это модель геометрии, нужно доказать, что в ней выполняются аксиомы нашей формализации геометрии. Это обычные геометрические утверждения, которые можно доказать обычным more geometrico. Т.е. формальная система геометрии моделируется, в данном случае, в "объемлющей" "неформальной" геометрии.
Кстати, я не специалист. По поводу теоремы Гёделя о полноте лучше посмотреть это сообщение ув. falcao.
Reply
То, что Вы написали здесь, вроде бы я примерно знаю - не настолько, чтобы этим оперировать, конечно, но примерно. Меня очень заинтересовало Ваше утверждение в посте. Сейчас по-другому спрошу, если не возражаете. Вы говорите: вот есть семантическая истинность, а есть - разные верные синтаксические системы (может быть, я неправильно употребляю термины, ибо у вас там все сложно :)).
И Вы связываете утверждение: "математика - это созерцание эйдосов" с первой позицией, с той, которая считает первичной семантическую истинность. Верно я поняла? И вот тут я не понимаю, почему. Ведь и доказательство может быть верным. И доказательство - это тоже эйдос. И доказательство - это тоже математика. Как тут противопоставление происходит, вот что я не могу уловить.
Reply
Я не уверен, что правильно понял вопрос, поэтому дам два ответа.
Доказательство действительно можно считать эйдосом, идеальным объектом. Но даже самый радикальный платонист не считает, что он непосредственно контактирует с эйдосами - это привилегия чинов ангельских иерархий.
Платонисты считают, что познают свойства идеальных объектов используя неидеальные инструменты - доказательства. У такого неидеального доказательства есть, в свою очередь, идеальный прообраз - „идеальное доказательство“, но узнать что-либо про этот идеальный объект можно опять-таки только при помощи неидеальных инструментов: доказательств теорем в „теории доказательств“. При этом „истинность“ (т.е. верность) доказательства не обязательно тождественна истинности доказуемого: истинному высказыванию можно дать неверное доказательство.
Второй ответ такой: „вавилоняне“ (т.е. платонисты), считают, что „открывают“ истинные утверждения, находя им доказательства. Примерное так, как мореплаватели открывают новые земли, находя к ним путь. Америка существовала до и независимо от плавания к ней Колумба. Т.е. математические объекты автономны („эйдосы“). Отсюда вытекает понимание теоремы о неполноте, как утверждения о фундаментальной ущербности формальных теорий - эйдосы богаче любых формализмов, их описывающих.
Описанные мной „греки“ отрицают существование автономных математических объектов. Для них свойства математического объекта (и его сущность) исчерпываются совокупностью доказуемых утверждений об этом объекте. Их математика это комбинаторное искусство (составление слова „вечность“ из ледянных кубиков). С их точки зрения теорема о неполноте утверждает, что недоказуемое утверждение будет обязательно ложным в одной из моделей (при этом свойства модели устанавливаются доказыванием утверждений в мета-теории).
Reply
Таки Вы себя относите к грекам? :)
Reply
Reply
Leave a comment