Comments | falcao: правила логического рассуждения: обсуждение

falcao

правила логического рассуждения: обсуждение

Feb 15, 2007 07:21

Я только что разместил серию больших постов о правилах логического рассуждения (в трёх частях). Это часть 1 -- исчисление высказываний, часть 2 -- исчисление предикатов, и часть 3 -- теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов. Комменты в основных постах отключены. Обсуждение можно проводить здесь; все посты и обсуждение являются общедоступными.

математика

Leave a comment

Back to all threads

Теорема Гёделя и множественность моделей kamchatnov February 16 2007, 09:01:25 UTC

Спасибо за интересный пост - такое сжатое и простое изложение очень полезно, поскольку изучать книги по логике нет ( ... )

Re: Теорема Гёделя и множественность моделей timur0 February 16 2007, 09:13:11 UTC

>>... у меня ранее сложилось впечатление, что теорема Гёделя утверждает существование недоказуемых и неопровержимых утверждений ВНУТРИ какой-либо достаточно богатой аксиоматической теории (типа арифметики), и при этом теорема не даёт конструктивного построения такого утверждения.
Впечатление в корне неверное - такое утверждение именно строится, выписывается ЯВНО. Более того, доказательство теоремы Геделя отвечает требованиям интуиционистской логики, так что это действительно фундаментальный факт, от которого не отмахнуться. Интересней другой вопрос - а не являются ли такие утверждения в какой-то мере неинтересными, периферийными? Как-то этот вопрос в ЖЖ обсуждался и приводились математические утверждения, возникшие не в логике, в традиционной математике, которые не доказуемы и не опровержимы в породившей их теории. Так что и загнать на периферию теорему Геделя не получается.

Re: Теорема Гёделя и множественность моделей kamchatnov February 16 2007, 14:14:39 UTC

> Как-то этот вопрос в ЖЖ обсуждался и приводились математические утверждения, возникшие не в логике, в
> традиционной математике, которые не доказуемы и не опровержимы в породившей их теории.

Очень интересно! А не могли бы Вы дать ссылку или пояснить, что это за утверждения и как они связаны с теоремой Гёделя?

Re: Теорема Гёделя и множественность моделей kamchatnov February 16 2007, 15:10:21 UTC

Вот, нашёл, откуда, в частности, у меня возникло такое впечатление - с год назад просматривал выпуск Notices of AMS, посвящённый столетию Гёделя. Там в статье С. Фефермана ( ... )

questões e respostas falcao February 16 2007, 20:05:35 UTC

Отвечаю здесь сразу на несколько Ваших комментов ( ... )

Muito obrigado pela resposta! kamchatnov February 17 2007, 08:30:14 UTC

Спасибо за обстоятельный ответ ( ... )

"узлы" falcao February 17 2007, 12:14:40 UTC

Насчёт геометрии Вы поняли всё совершенно верно ( ... )

Re: "узлы" kamchatnov February 18 2007, 22:51:42 UTC

Спасибо за пояснения. Утверждение, что и в математике можно изучать противоречивые теории, меня сильно удивило. Я ещё понимаю, как это в физике происходит, но мне казалось, что для математики противоречия смертельны.

Задачку о компании из 6 человек с удовольствием порешал :) Необходимость привлечения неких утверждений о бесконечных множествах для доказательства комбинаторных фактов (хотя и замысловатых) кажется удивительной, тем более, что это утверждение о небходимости само является теоремой.

Наличие "узлов" в бесконечности -- хорошая метафора. Правда, в физике появление бесконечностей считается указанием, что что-то не учтено. Иногда выяснение того, что же не было учтено, ведёт к новым физическим эффектам. Но в целом проблемы с бесконечностями в физике кажутся куда более банальными, чем в Вашей науке.

В целом Ваш пост был поучительным. Я разыскал в Вашем архиве посты о теореме Гёделя и надеюсь почитать на досуге.

contradições falcao February 20 2007, 03:25:56 UTC

Утверждение о противоречивых теориях Вас напрасно удивило. Здесь нет ничего загадочного. Просто если противоречие есть, то надо его сначала найти. А это содержательная задача. Она эквивалентна задаче что-то доказать. Обычно это делается "от противного", а далее устанавливаем противоречивость рассматриваемого. То есть математические рассуждения большей частью как раз являются рассуждениями в невозможной ситуациии, анализом (пусть и временным) конкретных противоречивых теорий!

Когда противоречие уже найдено, теория становится нетинтересной. Но рассматривать её всё равно можно. Я на это обращаю внимание вот почему. В математике при обучении господствует стиль "запретов". Типа: нельзя извлекать корень из отрицательного числа! Нельзя возводить уравнения в квадрат! Здесь самое главное подразумевается. Я бы везде заменил "нельзя" на "можно, но ...". В плане методики преподавания (к которой я имею отношение) это существенно ( ... )

contradições? kamchatnov February 21 2007, 21:29:10 UTC

Возможно, я не понимаю каких-то логических тонкостей, но мне казалось, что метод доказательства "от противного" как раз основан на невозможности противоречий в математике. То есть "противоречие" существует лишь предположительно, пока мы не убили его приведением к абсурду. В физике же от противоречий не всегда так легко избавиться ( ... )

objetos irreais falcao February 22 2007, 00:56:41 UTC

Я уверен, что Вы как раз всё понимаете, просто тут на самом деле нет ничего удивительного. Надо только чуть корректнее сформулировать. Собственно в математике противоречий нет, в том смысле, что их не возникает между фактами, считающимися "истинными". Противоречие может возникнуть в некоторой теории, а под последней понимается нечто совершенно произвольное. Теория не обязана быть осмысленной. Кстати, само понятие непротиворечивой теории уже подразумевает, что бывают и противоречивые ( ... )

Re: objetos irreais kamchatnov February 24 2007, 18:45:59 UTC

> Суть Ваших примеров я понял: имеется в виду, что какая-то величина начинает уходить в > бесконечность, и это некий "сигнал". (Видимо, можно также рассматривать явление
> резонанса из той же серии.)

Да, примерно так. Только в случае резонанса каждый школьник знает, что надо учесть трение и тогда бесконечность исчезнет, а вот в квантовой теории поля никто толком не знает, как избавиться от бесконечностей и о чём они "сигналят".

> Я имел в виду прежде всего бесконечность в "основаниях", представление о ней.

Было бы любопытно, если бы анализ математических оснований прояснил бы и какие-то физические проблемы. Пока что физики скептически относятся к таким идеям :)
А вот objetos irreais физика не удивишь - вон в квантовой механике спорам о том, что такое "реальность", не видно конца :) Правда, там они к "бесконечностям" вроде прямого отношения не имеют.

"сциентизм" falcao February 24 2007, 19:08:17 UTC

В этом смысле разница между примером резонанса и Вашими примерами чисто "количественная", то есть речь идёт о том, что причины одного явления изучены, а причины другого -- пока нет. Но так или иначе, эти трудности должны разрешиться ( ... )

Re: "сциентизм" kamchatnov February 24 2007, 20:34:00 UTC

> Но так или иначе, эти трудности должны разрешиться ( ... )

мыслить честно falcao February 24 2007, 23:01:03 UTC

Мне кажется, многие физики всё-таки действительно относятся к философии несколько предвзято. К тем, относительно кого это замечание несправедливо, претензий быть не может. Но Вы наверняка сами могли наблюдать "отрицательные" примеры среди своих же коллег ( ... )

Re: мыслить честно kamchatnov February 25 2007, 09:22:37 UTC

Нет спору, что предвзятость по отношению к философии у физиков есть. Более того, есть предвзятость и по отношению к своим коллегам, занимающимся то ли "абстрактной чепухой", то ли "убогой прикладнухой". Думаю, что это общее свойство человеческой психологии -- считать свою точку зрения "более правильной". Подозреваю, что и среди математиков можно наблюдать большой разброс мнений ( ... )

Back to all threads