правила логического рассуждения: обсуждение
Я только что разместил серию больших постов о правилах логического рассуждения (в трёх частях). Это часть 1 -- исчисление высказываний, часть 2 -- исчисление предикатов, и часть 3 -- теорема Гёделя о полноте исчисления предикатов. Комменты в основных постах отключены. Обсуждение можно проводить здесь; все посты и обсуждение являются общедоступными.
Когда противоречие уже найдено, теория становится нетинтересной. Но рассматривать её всё равно можно. Я на это обращаю внимание вот почему. В математике при обучении господствует стиль "запретов". Типа: нельзя извлекать корень из отрицательного числа! Нельзя возводить уравнения в квадрат! Здесь самое главное подразумевается. Я бы везде заменил "нельзя" на "можно, но ...". В плане методики преподавания (к которой я имею отношение) это существенно.
Если решили задачу про 6 человек, попробуйте решить про 18. Она очень красива. (Там есть один тонкий момент.)
Привлечение леммы Кёнига на самом деле интересно, но это "почти финитный" и довольно-таки понятный факт.
Привлечение бесконечности, причём в довольно "оголтелом" виде позволило красиво и кратко аксиоматизировать теорию вероятностей. Считалось ведь, что это раздел физики, менее математизированный нежели классическая механика. Эту проблему Гильберт ставил. У меня о колмогоровской аксиоматике есть особый пост (про детерминизм и случайность).
Мне казалось, что в квантовой механике уже заведомо всплывает идея бесконечности, причём не раз. И из-за теоретико-вероятностного аспекта, и из-за привлечения бесконечномерных операторов, и в конструкциях типа пси-функций, где "идеализм" просто пирует. Я не уверен, правда, что Вы имели в виду именно это, а не другое. Но я уверен, что "узлы" и здесь есть.
Спасибо за интерес к моим записям -- это всегда приятно.
Reply
> Если решили задачу про 6 человек,
> попробуйте решить про 18. Она очень
> красива. (Там есть один тонкий момент.)
Как мне кажется, про 6 человек решил. Решение такое. Как Вы написали, утверждение задачи означает, что в графе есть хоть один одноцветный треугольник. Рассмотрим одну из вершин. Из неё выходит 5 линий, так что по крайней мере 3 из них одного цвета - пусть для определённости красного. Если мы соединим две из трёх соответствующих им концевых вершин красной линией, то сразу получим красный треугольник. Но соединяя эти три вершины синими линиями, получаем синий треугольник. Так что так или иначе приходим к одноцветному треугольнику.
> Мне казалось, что в квантовой механике
> уже заведомо всплывает идея
> бесконечности, причём не раз. И из-за
> теоретико-вероятностного аспекта, и
> из-за привлечения бесконечномерных
> операторов, и в конструкциях типа
> пси-функций, где "идеализм" просто
> пирует. Я не уверен, правда, что Вы имели
> в виду именно это, а не другое. Но я
> уверен, что "узлы" и здесь есть.
Я действительно имел в виду другое, не так непосредственно связанное с математическими основами. В качестве простого примера можно привести следующий: пусть мы решаем задачу о распространении нелинейного импульса и вывели соответствующее эволюционное уравнение в предположении, что импульс плавно зависит от координат, так что пространственными производными выше первой можно пренебречь. Но решая это уравнение, мы находим, что импульс со временем "укручается" и в какой-то момент возникает точка с вертикальной касательной ("бесконечность" у производной). Тут мы хлопаем себя по лбу и говорим, что мы не учли в нашем приближении эффекты вязкости (или дисперсии) и их учёт вводит в уравнения производные более высокого порядка, что устраняет эти физически невозможные бесконечности. В результате возникает новая физическая теория ударных волн. Конечно, не всегда так легко избавиться от бесконечностей (пример - квантовая теория поля), но их изучение тоже может приводить к важным новым эффектам. Или наоборот, в теории нет никаких бесконечностей, но в эксперименте они видны (скажем, бесконечная проводимость). Тогда опять надо думать, что не было учтено (куперовское спаривание), и в результате можно прийти к новой теории. Так что появление бесконечностей в физике - важное эвристическое указание на что-то существенное, но пока не понятое.
Reply
Если я рассуждаю "от противного", то противоречие возникает вполне реальное -- мы можем лицезреть вывод формул Ф и не-Ф одновременно. На основании этого мы считаем, что наше предположение неверно, так как привело нас к противоречию.
Противоречия в физике, о которых Вы говорите, имеют несколько другую природу.
Задача про 6 человек именно так и решается; очень похоже рассуждение про 17 вершин с рёбрами уже трёх, а не двух цветов. А вот найти четвёрку в компании из 18 человек в графе знакомств чуть-чуть посложнее.
Суть Ваших примеров я понял: имеется в виду, что какая-то величина начинает уходить в бесконечность, и это некий "сигнал". (Видимо, можно также рассматривать явление резонанса из той же серии.)
Я имел в виду прежде всего бесконечность в "основаниях", представление о ней. Один из типичных примеров -- пространство элементарных событий в теории вероятностей, состоящего совсем из непонятных объектов. Но конструкции тем не менее очень важная и существенная.
Основной момент здесь в том, что для описания вполне реальных и наблюдаемых процессов часто оказывается нужно привлекать нечто "ирреальное" и ненаблюдаемое.
Reply
> резонанса из той же серии.)
Да, примерно так. Только в случае резонанса каждый школьник знает, что надо учесть трение и тогда бесконечность исчезнет, а вот в квантовой теории поля никто толком не знает, как избавиться от бесконечностей и о чём они "сигналят".
> Я имел в виду прежде всего бесконечность в "основаниях", представление о ней.
Было бы любопытно, если бы анализ математических оснований прояснил бы и какие-то физические проблемы. Пока что физики скептически относятся к таким идеям :)
А вот objetos irreais физика не удивишь - вон в квантовой механике спорам о том, что такое "реальность", не видно конца :) Правда, там они к "бесконечностям" вроде прямого отношения не имеют.
Reply
Я думаю, прогресс в области математических оснований не может помочь физике непосредственно. Скорее, дело обстоит так: прояснение оснований помогает расширить мышление, сделав допустимыми те вещи, которые раньше были не видны или не разрешены. Физик может при этом получить преимущества при построении моделей. Или ещё менее прямое воздействие -- основания математики делают какие-то "подвижки" в области философии. А последнее находит отражение в физике, при попытках осмылить какие-то явления.
Споров насчёт того, "что такое реальность", не было бы, если бы физики в массе своей относились к философии более уважительно. Я Вас не имею в виду, но в целом я именно среди людей с "физическим" мышлением встречал примеры наиболее "упёртого" отношения к философии. (Есть и обратные примеры, но их мало.) Здесь многое можно было бы списать на "совок", но на Западе дело обстоит, по моим наблюдениям, ещё хуже. "Сциентизм", "научный реализм" и прочие учения сходного порядка крайне отрицательно влияют на саму возможность мыслить. Везде "намордники", "конвой" :)
Попадаются и "светлые пятна" -- тот же Фейерабенд, например. Но "сциентисты" его всерьёз не рассматривают, считают "шутом гороховым". В конечном счёте, действуют так на свою голову.
Reply
Голубая мечта нескольких поколений физиков :)
Что касается неприятия физиками философии, то я не судил бы их слишком строго. Если не забредать в слишком далёкие времена, то не так легко привести примеры того, чтобы профессиональные философы существенно помогли развитию физики (Пуанкаре, Эйнштейн, Бор, Гейзенберг и даже Мах были всё-таки учёными). Я вот в виде хобби интересовался историческим развитием квантовой механики и читал немало оригинальных работ. Как правило, их основной движущей силой было стремление решить какую-либо конкретную проблему. При этом подспудно формировались и новые понятия, которые потом осмыслялись в виде некоей философской доктрины вроде "копенгагенской интерпретации". Но, по-моему, нельзя сказать, что философы активно участвовали в этом процессе. Поэтому, скажем, у очень хороших физиков Р.Фейнмана или С.Вайнберга можно встретить такие резко антифилософские высказывания. Насколько я могу судить, "анархизм" Фейерабенда тоже не слишком уважителен к философам, формулирующим "методологию научного исследования". Правда, я пытался читать его очень давно и он "не пошёл". (Вот книга Лакатоса "Доказательства и опровержения", прочитанная в юности, произвела сильное впечатление.)
Позволю себе также усомниться, что знание философии устранило бы споры о "реальности". Возможно, они стали бы более осмысленными, но, скажем, вопрос о роли сознания "наблюдателя" в квантовой механике так и остался бы дискуссионным.
Reply
Я уже говорил, что профессиональные философы если и помогают физике, то не напрямую. Ну вот давайте возьмём пример того же Пуанкаре и посмотрим, как на него повлияли, например, идеи Канта. Более того, даже поэзия Малларме на него могла повлиять! :)
Философы могли быть уже усопшими к тому времени, когда физики решали свои проблемы. Но влияние на умы они всё равно оказывали. Можно ли недооценить влияние Платона? Или нелюбимого мной Аристотеля?
Фейерабенд, конечно, костерил философов "и в хвост, и в гриву", но это касается академической философии. Тут я целиком на его стороне.
Кстати, не в первый раз сталкиваюсь с восторженными отзывами по поводу книги Лакатоса. Мне она как раз не нравится. Я предпочитаю сначала обдумать основы, и только потом начинать мыслить содержательно. Там все ошибки (хотя книга написана на историческом материале) вызваны, грубо говоря, тем, что homo sapiens "и жить торопится, и чувствовать спешит" :) А я как раз против этого борюсь. Говорю: содержательное подождёт. Давайте сначала об основаниях подумаем. И вообще приучим себя сначала мыслить честно, получим на это дело лицензию в "Комиссии" :)
Вот Вы меня как раз навели на мысли именно своим примером о споре физиков. Ведь многие из них всерьёз верят, что наличие "сознания" у "квантового наблюдателя" -- это естественнонаучный факт, который либо "верен", либо нет. Кое-кто чуть ли не "моск" готов искать у частиц :) Хотя ясно, что это вещь чисто конвенциональная. Если эта идея работает, то она правильная. Прагматический подход. А люди ищут не пойми что. Вот Вам яркий пример невладения философией. И так бывает очень часто.
Reply
Что касается влияний самого разного рода от Платона до Малларме, то безусловно они могут быть, хотя обычно и не осознаются. У Фейнмана или Вайнберга, на которых я сослался, речь шла о профессиональных философах с философских кафедр, которые ПОСЛЕ создания, скажем, квантовой механики начинали учить физиков, как им следует понимать то, что они сделали. А вот когда физики бились над своими проблемами, то они почему-то помалкивали или гнобили тех, кто говорил о существовании атомов (если брать начало прошлого века). В общем, вопрос о налаживании доброжелательного сотрудничества между математиками, физиками и философами, к сожалению, очень не прост :)
Книга Лакатоса у меня сохранилась, так что попробую перечитать - интересно, какое впечатление будет через 40 лет после первого чтения :)
Что касается требования "мыслить честно", то в идеале оно понятное, но трудно реализуемое в полном объёме. Возможно, математический анализ был бы создан гораздо позднее и развивался бы какими-то другими путями, если бы от Ньютона, Лейбница и Эйлера потребовали бы "мыслить честно" хотя бы на древнегреческом уровне строгости. Но я не чувствую себя вправе диктовать этим учёным, как надо было действовать -- задним-то умом мы все крепки :)
К тому же в физике понятие "основ" не такое ясное, как в математике, и требование сначала думать об основаниям может привести к творческому бесплодию. Тут мне на память пришла такая история. Когда я учился в аспирантуре, то некоторое время жил в общежитии с аспирантом с химфака МГУ. Он рассказывал мне, что на химфаке есть группа что-то вроде "теоретической химии", работа которой была основана на идее, что вот у физиков всё плохо, так как они не продумали основ и пользуются корявой математикой. Поэтому мы, химики, изучим основательно математику и применим её к нашим проблемам. Изучать "хорошую математику" они стали по Бурбаки и в результате "достижения" членов этой группы мерялись по числу глав, изученных в таком-то томе Бурбаки. Не знаю уж, получили ли они "лицензию в "Комиссии"", но до химии, насколько мне известно, дело так и не дошло :)
> наличие "сознания" у "квантового наблюдателя" ... вещь чисто конвенциональная
Хм... А все ли философы разделяют эту точку зрения? И что Вы называете "квантовым наблюдателем"? Наверное, не место затевать здесь большую дикуссию по этим вопросам, но буду признателен, если хотя бы очень кратко поясните Вашу точку зрения.
Reply
Кто-то застревает на позитивизме, кто-то на "наивном реализме", кто-то на формальной логике и махровой аристотелевщине.
Я согласен с Вами, что сотрудничество между математиками, физиками и философами -- вещь сложная, но нужная. И трудности тут, безусловно, есть. Я вспомнил печально известную кампанию в сталинские годы, когда стали появляться статьи об отходе ряда физиков от марксизма -- дело касалось как раз квантовой механики. К чести физиков надо заметить, что они не без успеха отбоярились от "просветителей" :)
Идею того, что надо мыслить честно, желательно было бы проиллюстрировать на каких-то примерах. Создание анализа бесконечно малых или свободное оперирование какими-нибудь рядами без достаточного обоснования -- вещь вполне допустимая. Тем более, что там вообще-то обоснование так или иначе было.
Более того, требование честности относится скорее к сфере определений, а не доказательств. Вот у того же Лакатоса в книге многих "гримас" просто не было бы, если вовремя дать нужные определения. Или такой пример: излагают постулаты СТО и говорят о "скорости света". Но скорость зависит от времени, а последнее к этому моменту ещё не определено, не задана процедура его измерения! Я считаю, что это методический прокол, причём очень крупный. Но всё равно как преподавали таким образом, так и преподают!
История с Бурбаки, конечно, анекдотичная. Мне знакомы подобные ситуации. Взять и начать систематически изучать какой-нибудь "талмуд", не обращая внимания, где там полезное, а где бесполезное. Главное -- было бы чем себя занять. Только бы не думать над тем, над чем думать не хочется! Кстати, это пример того же рода, что и я имел в виду. Казалось бы, люди здесь изучают основы, но это вообще не основы.
Я не могу поручиться за всех философов, но боюсь, что многие из них "ниасилили" идеи конвенционализма. Скажем, многие думают, что Земля "на самом деле" вращается :) Я бы здесь как раз перефразировал Пуанкаре, сказав, что два положения -- "частица обладает сознанием" и "удобнее считать, что частица обладает сознанием" имеют один и тот же смысл! Моя точка зрения состоит в том, что не надо здесь искать никакой "мистики" и открывать новые загадочные свойства частиц. Под "квантовым наблюдателем" я как раз и имел в виду частицу, которая "как бы" умеет проводить измерения и делать прочие вещи "сознательного" характера.
Reply
> Более того, требование честности относится скорее к сфере определений, а не доказательств. Вот у того же Лакатоса в книге многих "гримас" просто не было бы, если вовремя дать нужные определения.
Мне кажется, что и "правильные определения" зачастую даются в результате анализа доказательств и всевозможных "контрпримеров" и Лакатос вроде бы об этом и писал. Что касается СТО, то давно уже не читал учебников по ней, так как не преподаю. Но статья Эйнштейна как раз начинается с анализа понятий времени и одновременности. Этим, кстати, она выгодно отличается от статьи Пуанкаре, который слишком уж верил в "электромагнитную теорию материи". Впрочем, Пуанкаре оправдывает то, что в своих философских статьях он обсуждал проблему одновременности ещё до Эйнштейна, хотя, насколько я помню, без такого конкретного анализа, как у него.
О конвенционализме. Пуанкаре, чтобы обосновать свой взгляд на то, "вращается ли Земля", пришлось заслонить звёздное небо вечными облаками, так что даже в этом классическом примере использовалась вымышленная ситуация. Если же брать задачи, которые реально решает современный физик, то надо увязать в единую картину не только вращение звёздного неба, движение маятника Фуко, форму Земли и морские приливы, а практически бесконечное количество самых разнообразных явлений, так что неизбежно возникает вопрос, почему именно эта картина "удобна". Впрочем, как "антидот" против "наивного реализма" конвенционалистский анализ может быть, конечно, очень хорош.
Reply
Ссылка в тему: интерференция фуллерена, он тяжёлый вообще-то, 60 атомов углерода, это очень много, а интерферирует...
Так вот, физики спокойно постулируют, что измерение происходит при переходе на макроуровень, то есть когда энергия системы много больше h. Фуллерен интерферирует? Окей, "много больше" означает много больше, мы так сразу и сказали, типа.
У других людей возникают стрёмные вопросы, типа а с чего вы взяли, что измерение вообще происходит, может, это свойство человеческого сознания такое, что оно основано на чисто классических принципах и потому умеет воспринимать только чистые состояния, поэтому и запутывается с наблюдаемым всегда так, как если бы произошло измерение.
Люди, которые что-то ищут в этом направлении, ищут вовсе не "непойми что". Причём философия им для этого не нужна, как мне кажется.
Reply
Leave a comment