задача дня-15
Вот хорошая, на мой взгляд, вероятностная задача.
Проводится турнир по кубковой системе среди n участников. Ничьих нет, проигравшие выбывают. Все игроки считаются примерно равными по силе, то есть при встрече между собой каждый выигрывает с вероятностью 1/2. При чётном количестве игроков, они случайным образом разбиваются на пары, встречаются между собой, и победители проходят в следующий тур. При нечётном -- один случайно выбранный участник выходит в следующий тур без игры, остальные разбиваются на пары, как и выше, играя между собой. Так происходит, пока не останутся двое, которые встречаются между собой в финале. Какова вероятность, что два конкретных участника, Андрей и Борис, в ходе турнира сыграют между собой?
Я сначала нашёл закономерность, рассмотрев случаи небольших значений n, а потом доказал, что она имеет место для любого числа участников (в оригинале их было 20). В итоге удалось найти совсем "прозрачное" решение, фактически не основанное на вычислениях.
Предлагаю желающим подумать, а комментарии, как обычно, на время скрываются.
UPD (04.12.21) Раскрыл комментарии. Ответ 2/n. Его можно получить несколькими близкими способами. Сам я рассуждал так: все участники равноправны, выиграть турнир можно с вероятностью 1/n. Тот, кто не выиграл, кому-то одному проиграл, и с равной вероятностью каждому из n-1. Тогда вероятность того, что Андрей проиграет именно Борису, получается делением 1-1/n (вероятности того, что он не выиграет в турнире) на n-1. Это будет 1/n. Такая же вероятность того, что Борис проиграет Андрею. В сумме получается 2/n, а это и есть вероятность того, что данные участники играли (один проигрывает другому).
Всем спасибо за участие!
Проводится турнир по кубковой системе среди n участников. Ничьих нет, проигравшие выбывают. Все игроки считаются примерно равными по силе, то есть при встрече между собой каждый выигрывает с вероятностью 1/2. При чётном количестве игроков, они случайным образом разбиваются на пары, встречаются между собой, и победители проходят в следующий тур. При нечётном -- один случайно выбранный участник выходит в следующий тур без игры, остальные разбиваются на пары, как и выше, играя между собой. Так происходит, пока не останутся двое, которые встречаются между собой в финале. Какова вероятность, что два конкретных участника, Андрей и Борис, в ходе турнира сыграют между собой?
Я сначала нашёл закономерность, рассмотрев случаи небольших значений n, а потом доказал, что она имеет место для любого числа участников (в оригинале их было 20). В итоге удалось найти совсем "прозрачное" решение, фактически не основанное на вычислениях.
Предлагаю желающим подумать, а комментарии, как обычно, на время скрываются.
UPD (04.12.21) Раскрыл комментарии. Ответ 2/n. Его можно получить несколькими близкими способами. Сам я рассуждал так: все участники равноправны, выиграть турнир можно с вероятностью 1/n. Тот, кто не выиграл, кому-то одному проиграл, и с равной вероятностью каждому из n-1. Тогда вероятность того, что Андрей проиграет именно Борису, получается делением 1-1/n (вероятности того, что он не выиграет в турнире) на n-1. Это будет 1/n. Такая же вероятность того, что Борис проиграет Андрею. В сумме получается 2/n, а это и есть вероятность того, что данные участники играли (один проигрывает другому).
Всем спасибо за участие!