без единого гвоздя

[falcao]

Придумалась вчера одна любопытная вероятностная задача. У меня не один раз бывали вопросы, где требовалось дать чисто интуитивный ответ по принципу "как кажется". Здесь же задание будет несколько другое

Comments

[rus4]

А чем это рассуждение не строгое? Надо сказать, что промежутки одинаково распределены (что очевидно: их можно переставлять), а математическое ожидание линейно.

[falcao]

Ну, это всё-таки немного другое рассуждение. Основа, конечно, именно такая, но рассуждение надо надлежащим образом оформить. У меня, кстати, ход мысли был чуть-чуть иной, то есть я рассматривал другие случайные величины. Но Ваше рассуждение в любом случае "зачОтное": как его довести до строго-формального, совершенно понятно. Наверное, в таком виде и надо оставить -- пусть другие тоже подумают.

Между прочим, я пару лет назад включил в один из читаемых мной курсов доказательство экстремальной теоремы Турана, основанное на вероятностных соображениях. Там нечто подобное тоже делается, хотя здесь всё проще.

[kcmamu]

Замкнем отрезок в круг и добавим точку нумер 0 (она же нумер 50), в которой сидит наблюдатель. Нас интересует расстояние от наблюдателя до ближайшего отмеченного числа -- скажем, по часовой стрелке.

Теперь отвлечемся от цифровых значений и будем случайным образом кидать на "слепой" круг с 50 точками семь отметок, потом в одну из них (тоже выбранную случайно) сажать наблюдателя, объявляя ее точкой нумер 0, а далее занумеруем точки 1, 2 и т. д. до 49 по кругу. Тут совсем очевидно, что среднее расстояние от наблюдателя до ближайшей по часовой стрелке отмеченной точки такое же, как вообще среднее расстояние между двумя соседними отметками. Так как всего расстояний 7, а их сумма -- 50, то среднее значение -- 50/7.

[fiviol]

Прозрачно!

[falcao]

Да, в таком виде всё вполне аккуратно получается!

[avkh]

Не получается 50/7 = 7,1428,,,
Получается около 7,50 - 7,51

можно выполнить в екселевском vba

------------------------------------
Sub CalcMin6of49()
Dim NrOfTests As Long
Dim i As Long
Dim j As Long
Dim CurrenMin As Integer
Dim SumOfMins As Long
Dim CurrenNumber As Integer
NrOfTests = 1000000
SumOfMins = 0
For i = 1 To NrOfTests
CurrenMin = 49
For j = 1 To 6
CurrenNumber = Int((49 - 1 + 1) * Rnd + 1)
If CurrenMin > CurrenNumber Then CurrenMin = CurrenNumber
Next j
SumOfMins = SumOfMins + CurrenMin
Next i
Debug.Print SumOfMins / NrOfTests
End Sub
------------------------------------

[timur0]

Из эвристических соображений расстояние от 0 до наименьшего номера должно бы быть вдвое меньше расстояния между двумя соседними номерами (расстояние от максимального до конца - аналогично). Соображение такое: замкнем этот отрезок в кольцо, тогда расстояния между любыми соседними точками распределены одинаково и в среднем равны, а при этом один отрезок сложен из двух - 0-мин и макс-верх.

Да, над задачкой потом подумаю, сейчас нет времени.

[kcmamu]

Но у разреза больше способов попасть в большой промежуток, чем в маленький, так что при усреднении получится заметно больше половины среднего расстояния между соседними номерами.

[falcao]

Такое соображение хотя и не работает, но сам ход мысли я считаю интересным, потому что он демонстрирует ненадёжность применения одного из методов: рассмотреть "среднюю" в каком-то смысле ситуацию, и сделать выводы, исходя из неё. Такого рода подход работает, если он основан на симметрии. Типа того, что все величины хотя и не обязаны совпадать со средними значениями, но "большое" по каким-то причинам "уравновешивается" с "малым". В этом случае всё работает. Но здесь kcmamu верно отметил, что при неравномерном разбиении на части у точки будет больше шансов попасть в длинный промежуток нежели в короткий, то есть имеет место асимметрия.

[irishoak]

Хорошо, давайте мы добавим, действительно, 0 и 50. А каково среднее значение _минимальной_ (положительной) разности между числами? Оно вроде тоже хорошо считается!

[falcao]

Это интересный вариант. Надо будет подумать. Правда, в этом случае я уже не уверен в том, что без вычислений всё получится. Для непрерывной версии это дело я когда-то считал через интегралы.

В дискретном случае непонятно, какой будет ответ, так как при значениях k порядка n/2 и более всегда будет получаться единица.

[mechanician]

Если вместо шаров просто бросать k точек на отрезок от 0 до n+1 (часть отрезка от n до n+1 надо добавить для симметрии с частью отрезка от 0 до 1), то по формуле для минимума равномерно распределенных величин матожидание будет как раз (n+1)/(k+1).

Удивительно, что вычислительное решение исходной задачи по комбинаторным формулам дает то же самое для разных n и к. Но упростить до такого вида я не могу.

[falcao]

Да, сравнение с "непрерывным" вариантом задачи тоже можно провести. Там вроде бы из общих соображений тоже всё получается без привлечения вычислительного аппарата.

[mechanician]

Вроде бы понятно, что при больших n результат должен стремиться к непрерывному. Но то, что он сохраняется даже при лотерее 2 из 3, как-то настораживает. :) Вот так вот запросто взяли и перешли от непрерывных независимых величин к дискретным зависимым и на тебе.

Для исходной задачи матожидание выражается формулой [C(n,k)+C(n-1,k)+...+C(k,k)] / C(n,k). И до этого даже несложно дойти в уме. А вот дальше не соображу как. Или есть какая-то формула для свертки такого?

[falcao]

Да, суммы такого вида хорошо "сворачиваются": ответ понятно какой должен быть, а само равенство легко проверяется индукцией по n. Можно также воспользоваться свойством биномиальных коэффициентов, согласно которому формируется треугольник Паскаля.