без единого гвоздя

[falcao]

Придумалась вчера одна любопытная вероятностная задача. У меня не один раз бывали вопросы, где требовалось дать чисто интуитивный ответ по принципу "как кажется". Здесь же задание будет несколько другое

Comments

[roman_rogalyov]

В случае лото "6 из 49" рассмотрим целочисленную (гипер)кубическую решётку 496 - множество {(x1, x2, x3, x4, x5, x6}.
Каждую последовательность выпавших номеров можно изобразить точкой 6-симплекса {x1 < x 2 < ... 6}. Среднее значение минимального номера x1 - это первая координата центра тяжести указанного симплекса. А центр тяжести k-симплекса находится на расстоянии h/(k+1) от его основания. В данном случае, основание - это 5-симплекс в (гипер)плоскости x1=1, а высоту надо опускать из вершины, для которой значение x1 максимально - это (44 45 46 47 48 49). То есть, h=44-1=43, k+1=7, и искомая координата равна 1+43/7=50/7.

В случае спортлото "k из n" координата центра масс соответствующего k-cимплекса, содержащегося в кубе nk, вычисляется совершенно аналогично, она равна 1+(n-k)/(k+1), [h=n-k] ч.т.д.

[falcao]

Забавная идея (куда нам без физических соображений? :)) Я с первого раза не понял её реализации, но потом, когда вчитался, до меня дошло.

[roman_rogalyov]

Кстати, тут надо ещё доказать, что центр тяжести "целочисленного" n-симплекса совпадает с центром тяжести "сплошного". Красивое наводящее соображение - в обоих случаях центр тяжести есть точка пересечения "медиан", где "медиана" n-симплекса - линия соединяющая его вершину с центром тяжести противоположной грани ((n-1)-симплексом, далее по индукции),

[falcao]

Я здесь как раз дискретный случай рассматриваю как основной -- когда точечные массы распределены по вершинам. Именно для него соответствующий факт я рассматриваю как наиболее известный.

Кстати, вспомнилась интересная (прежде всего, своим ответом) геометрическая задача о центре тяжести "проволочного" треугольника.

[vallerio]

В задаче есть предел - 49. Соответственно, наименьшее число - 44. Поэтому решается проще. Так как предполагается бесконечность выпадений (тиражей), то, по той же вероятности, циклом будет момент, когда все числа от 1 до 44 (включительно) выпадут одинаковое число раз. Поэтому решение задачи - сумма (44+43+42+41 и т.д.) деленная на 44. Т.е, среднее арифметическое.

[falcao]

Этот ответ неверен. Здесь не учитывается тот факт, что хотя числа 1 и 44 выпадают одинаково часто, но первое из них всегда будет наименьшим среди выпавших, а второе -- только в одном случае, когда выпали числа от 44 до 49. Последнее бывает крайне редко, в то время как 1 может появляться в "компании" очень многих чисел. Поэтому усреднение по такому принципу не работает, а ответ оказывается сильно завышенным: 22 с половиной вместо 7+1/7.

[vallerio]

Ваше допущение имеет некую логику, если предполагать, что шары с цифрами в лотерее выпадают в некой последовательности. Например, по возрастающей 1 - 7 - 16 - 32 - 35 - 40. Или по ниспадающей. Но происходит по другому. Например, 12 - 14 - 41 - 5 - 30 - 7. Поэтому предположение о выпадении, например, 45-47-44-48-44-49 так же вероятно, как 5-2-1-4-3.

[falcao]

Никто не спорит с тем очевидным фактом, что первые 6 номеров выпадают одинаково часто с последними 6 номерами. В этом пункте имеет место полная симметрия. Но дело в том, что 44 становится минимальным номером только в этом редком случае, а 1 -- всегда, когда она вообще выпадает. Для того, чтобы она оказалась минимальной, совершенно не нужно, чтобы вместе с ней выпали числа от 2 до 6. Это могут быть любые другие.

Достаточно посмотреть историю всех тиражей "Спортлото", которые когда-либо проводились. Единица там выпадала примерно в 1/8 части случаев, и всегда была минимальной. Сколько раз оказывалось минимальным среди выпавших число 44? При том, что встречалось оно в тиражах примерно столь же часто. Думаю, это вопрос риторический :)

[aspasiaroma]

Надеюсь, кто-нибудь ответит.

[raskrutim]

Здравствуйте! Я Сергей, живу в Москве, пишу потихоньку о своей жизни и о том, что меня окружает. Предлагаю вам взаимную дружбу)