без единого гвоздя
Придумалась вчера одна любопытная вероятностная задача. У меня не один раз бывали вопросы, где требовалось дать чисто интуитивный ответ по принципу "как кажется". Здесь же задание будет несколько другое.
Пост открытый, как и все остальные на аналогичную тему.
Сюжет задачи такой. Представим себе тираж "Спортлото". Скажем, выпали случайно какие-то 6 номеров из 49. Каково должно быть при этом среднее значение наименьшего из номеров?
На всякий случай поясню, что это значит. Пусть проводится много тиражей, и мы в каждом из них запоминаем наименьший из номеров. Скажем, если выпали 32, 34, 10, 47, 16, 25, то мы запоминаем 10. В другом тираже выпали 28, 47, 40, 20, 21, 5. Здесь мы запоминаем число 5, и так далее. После того, как все тиражи прошли, мы вычисляем среднее арифметическое тех номеров, которые мы запомнили. И требуется сказать, каково будет это значение, если тиражей пройдёт много?
Здесь не так трудно произвести подсчёт "эвристического" характера, чтобы предсказать ответ. А именно, будем считать, что среднее значение наименьшего номера получается тогда, когда 6 номеров среди 49 распределены "равномерно". Это значит, что промежутки между выпавшими номерами полагаются одинаковыми. До первого номера (то есть до наименьшего) идёт в среднем x номеров. Потом следует x номеров между первым и вторым по величине, столько же между вторым и третьим, и так далее. После самого большого значения также идёт x номеров.
Шесть чисел задают семь промежутков, каждый имеет длину x. Эти промежутки вместе должны содержать 49-6=43 числа, откуда x=43/7. То, что это значение дробное, не ведёт к эффекту типа "два землекопа и две трети" (с), потому что речь идёт об оценке среднего значения, а оно может быть дробным. Понятно, что наименьшее число на единицу больше того значения, которое у нас получилось (длины промежутка слева), откуда мы получаем оценку 50/7. В общем случае, если выпадают k номеров из n, те же соображения приводят к ответу (n+1)/(k+1). И этот ответ, полученный "эвристическим" путём, действительно является верным.
А теперь собственно вопрос: как это доказать (строго), не делая при этом сложных арифметических вычислений? Имеется в виду, что достаточно просто взять и посчитать всё "в лоб", как это обычно делается. Получатся какие-то суммы произведений, их можно будет "свернуть", и получится указанный выше ответ. Но как это сделать "без единого гвоздя", то есть так, чтобы все вычисления осуществлялись устно?
Я знаю, что вопросы такого рода кое-кто из моих френдов помещает, так что интересно будет подумать. Комменты я оставляю открытыми.
Пост открытый, как и все остальные на аналогичную тему.
Сюжет задачи такой. Представим себе тираж "Спортлото". Скажем, выпали случайно какие-то 6 номеров из 49. Каково должно быть при этом среднее значение наименьшего из номеров?
На всякий случай поясню, что это значит. Пусть проводится много тиражей, и мы в каждом из них запоминаем наименьший из номеров. Скажем, если выпали 32, 34, 10, 47, 16, 25, то мы запоминаем 10. В другом тираже выпали 28, 47, 40, 20, 21, 5. Здесь мы запоминаем число 5, и так далее. После того, как все тиражи прошли, мы вычисляем среднее арифметическое тех номеров, которые мы запомнили. И требуется сказать, каково будет это значение, если тиражей пройдёт много?
Здесь не так трудно произвести подсчёт "эвристического" характера, чтобы предсказать ответ. А именно, будем считать, что среднее значение наименьшего номера получается тогда, когда 6 номеров среди 49 распределены "равномерно". Это значит, что промежутки между выпавшими номерами полагаются одинаковыми. До первого номера (то есть до наименьшего) идёт в среднем x номеров. Потом следует x номеров между первым и вторым по величине, столько же между вторым и третьим, и так далее. После самого большого значения также идёт x номеров.
Шесть чисел задают семь промежутков, каждый имеет длину x. Эти промежутки вместе должны содержать 49-6=43 числа, откуда x=43/7. То, что это значение дробное, не ведёт к эффекту типа "два землекопа и две трети" (с), потому что речь идёт об оценке среднего значения, а оно может быть дробным. Понятно, что наименьшее число на единицу больше того значения, которое у нас получилось (длины промежутка слева), откуда мы получаем оценку 50/7. В общем случае, если выпадают k номеров из n, те же соображения приводят к ответу (n+1)/(k+1). И этот ответ, полученный "эвристическим" путём, действительно является верным.
А теперь собственно вопрос: как это доказать (строго), не делая при этом сложных арифметических вычислений? Имеется в виду, что достаточно просто взять и посчитать всё "в лоб", как это обычно делается. Получатся какие-то суммы произведений, их можно будет "свернуть", и получится указанный выше ответ. Но как это сделать "без единого гвоздя", то есть так, чтобы все вычисления осуществлялись устно?
Я знаю, что вопросы такого рода кое-кто из моих френдов помещает, так что интересно будет подумать. Комменты я оставляю открытыми.