Неравенства Белла - часть 3.2
Это шестой, предпоследний пост по теме. Начало здесь:
Введение
Часть 1.1. Спин
Часть 1.2. Спин (продолжение)
Часть 2. ЭПР-пары
Часть 3.1. Неравенство Белла
Теперь нам не составит большого труда вывести неравенства Белла.
Для начала поставим такой вопрос: какова вероятность получить тот или иной исход одного "выстрела"? Например, такой: [A+,B+]?
Очевидно, что такой исход может быть получен только если П1 ориентирован в направлении A, а П2 - в направлении B. То есть, в конфигурации приборов {A,B}.
Так же понятно, что такой исход могут дать только такие ЭПР-пары, в которых протон 1 несёт в себе следующий набор X-параметров:
+,B-,C+>
-,C->
Значит, формулу для вероятности исхода [A+,B+] мы можем записать так:
P[A+,B+] = P{A,B} * (P+,B-,C+> + P+,B-,C->) (ф. 3.1)
Здесь P{A,B} - вероятность конфигурации {A,B}. У нас конфигурации переключаются случайным образом, и все 9 возможных конфигураций равновероятны. Следовательно:
P{A,B} = 1/9 (ф. 3.2)
P+,B-,C+>, P+,B-,C-> в формуле (ф. 3.1) - это вероятности генерации ЭПР-источником первого протона соответствующего сорта. Эти вероятности нам неизвестны, ну и не надо.
С учётом (ф. 3.2) формулу (ф. 3.1) мы можем переписать так:
P[A+,B+] = (1/9)*P+,B-,C+> + (1/9)*P+,B-,C-> (ф. 3.3)
Путём аналогичных рассуждений получим также следующие формулы:
P[B-,C-] = (1/9)*P+,B-,C+> + (1/9)*P-,B-,C+> (ф. 3.4)
P[A+,C+] = (1/9)*P+,B+,C-> + (1/9)*P+,B-,C-> (ф. 3.5)
Теперь сложим формулы (ф. 3.4) и (ф. 3.5):
P[B-,C-] + P[A+,C+] = (1/9)*P+,B-,C+> + (1/9)*P-,B-,C+> + (1/9)*P+,B+,C-> + (1/9)*P+,B-,C-> (ф. 3.6)
Сумма первого и четвёртого членов (выделены зелёным) в правой части выражения - это вероятность P[A+,B+], смотрите формулу (ф. 3.3). Тогда получается:
P[B-,C-] + P[A+,C+] = P[A+,B+] + (1/9)*P-,B-,C+> + (1/9)*P+,B+,C-> (ф. 3.7)
Значит, должно выполняться следующее неравенство:
P[A+,B+] ≤ P[B-,C-] + P[A+,C+] (ф. 3.8)
Это и есть искомое неравенство Белла.
Мы можем переписать его в таком виде:
где:
N[...] - количество попыток ("выстрелов"), в которых получен результат соответствующего вида;
N - общее количество попыток.
Теперь домножим все части на N и запишем неравенство Белла ещё проще:
N[A+,B+] ≤ N[B-,C-] + N[A+,C+] (ф. 3.10)
С точки зрения классического подхода это неравенство должно выполняться при любых направлениях A, B, C. Если на опыте выяснится, что это не так, значит, классический подход не состоятелен.
Теперь выведем аналогичное неравенство для квантового подхода. Он, напомню, заключается в следующем. Протон, подлетевший к прибору, не имеет "готовой программы", его спин не предопределён. Так что тот протон ЭПР-пары, который подлетел к своему прибору первым, "выбирает" плюс-канал или минус-канал случайно. При этом происходит "сеанс телепатии" между протонами ЭПР-пары: спин второго протона ориентируется строго противоположно тому направлению спина, которое измерено для первого протона. Например, если первый протон дал результат [A+], то второй немедленно переключится из неопределённого состояния в определённое состояние ->. Конечно, с "квантовой" точки зрения, это состояние определено только относительно прибора с ориентацией {A}. На прочих ориентациях прибора выбор опять будет случайным, предопределена только вероятность того или иного исхода. Короче, если один протон "выдал" результат [A+], то второй протон ведёт себя так, как будто бы он сам прошел через минус-канал прибора с ориентацией {A}. Или через плюс-канал прибора с противоположной ориентацией {-A}.
Рассчитаем теперь "квантовую" вероятность исхода [A+,B+]. Предположим, что первым сработал П1, а вторым - П2 (можно было бы предположить и обратное, на результат расчёта это не влияет). При таком раскладе вероятность исхода определяется произведением трёх вероятностей:
P[A+,B+] = P{A,B} * P[A+] * P(совп) (ф. 3.11)
Где
P{A,B} - вероятность того, что экспериментальная установка находится в конфигурации {A, B}. Выше мы выяснили, что эта вероятность равна 1/9.
P[A+] - вероятность того, что первый протон попадёт в плюс-канал П1. Здесь выбор абсолютно случаен, и эта вероятность всегда равна 1/2.
P(совп) - вероятность совпадения результатов П1 и П2 для данной взаимной ориентации приборов. Формула (ф. 2.8) для вычисления этой вероятности имеется в конце части 2. Перепишем её в следующем виде:
Здесь AB - угол между направлениями A и B.
Теперь мы можем переписать формулу (ф 3.11) так:
Рассуждая аналогичным образом, мы можем получить формулы для вероятностей следующих исходов:
Теперь подставим полученные выражения (ф. 3.13), (ф. 3.14), (ф. 3.15) в неравенство Белла (ф. 3.8):
Общий множитель можем выбросить, тогда получится:
А теперь самый главный (в обсуждаемой теме) «квантовый» вывод: существуют такие взаимные ориентации направлений A, B, C, для которых это неравенство не выполняется.
Например, это неравенство не выполняется для следующей комбинации углов:
AB = 190°
BC = 80°
AC = 90°
Счастливые обладатели калькуляторов могут сами подставить эти углы в формулу (ф. 3.17) и убедиться :)
Значит, для такой взаимной ориентации направлений в реальных опытах не должно выполняться и неравенство (ф. 3.10). В виду практической важности выпишем это неравенство ещё раз:
N[A+,B+] ≤ N[B-,C-] + N[A+,C+] (ф. 3.10)
Ну что же, осталось только экспериментально проверить, какой подход, классический или квантовый, даёт правильные предсказания. Схема и методика эксперимента у на уже описаны в начале этой части (рисунок 3.1). Выберем для опыта такой набор направлений A, B, C, для которого классический и квантовый подходы дают противоречащие друг другу предсказания. Отстреляем большое количество ЭПР-пар, аккуратно подсчитаем количество исходов [A+,B+], [B-,C-] и [A+,C+] и посмотрим, выполняется неравенство (ф. 3.10) или нет.
Так вот, такой реальный эксперимент показывает: неравенство Белла нарушается. Следовательно, «победа присуждается» квантовому подходу. А классический подход с его абсолютным детерминизмом и локальностью оказывается несостоятельным.
На этом можно было бы рассказ о неравенствах Белла закончить. Но я хотел бы высказать ещё несколько соображений на тему, поэтому окончание следует.
Вопросы, возражения и замечания по прежнему приветствуются
Эпилог