Неравенства Белла - часть 1.2.
Это третий, но не последний пост о неравенствах Белла. Если кто хочет подключиться, то советую сначала прочитать первые два поста.
Введение.
Часть 1.1.
Итак, мы выяснили, что ПШГ направляет входные протоны по одной и из двух возможных траекторий. Дальше эти траектории будем называть так: "плюс-канал" и "минус-канал". Выше, на рисунках, 1.1, 1.5, протон в плюс-канале (красный) я изобразил со спином вверх, а протон в минус-канале (синий) со спином вниз. Но это было сделано, так сказать, "авансом", на самом деле мы пока не уверены, что протоны выходят из прибора именно в таких состояниях. Есть ведь серьёзные поводы для сомнений.
Во-первых, может быть, вообще никакого спина у протона не существует, а ПШГ просто разбрасывает протоны по каналам каким-то случайным или псевдослучайным образом, как, например, фонтан разбрасывает водяные брызни?
Во-вторых, в "классическом" случае, если бы мы действительно имели дело с вращающимися заряженными шариками без всяких квантовых свойств, шарик отклонялся бы в неравномерном магнитном поле, но его момент импульса при этом бы не изменился: какой на входе, такой и на выходе. Другими словами, "классическое" измерение не меняет измеряемой величины. Может быть и в квантовом случае такая картина: с каким протон спином вошел в прибор, с таким и вышел?
Для начала проведём эксперимент, который должен развеять наши сомнения на счёт "во-первых" (рисунок 1.6).
Теперь у нас в схеме три ПШГ, они обозначены как П1, П2, П3. Обратите внимание: на выходах П1 детекторов нет. Протоны, прошедшие через плюс-канал П1, сразу попадают в П2, и далее в один из двух детекторов: D2+ или D2-. Аналогично, протоны из минус-канала П1 попадают в П3, а затем в D3+ или D3-.
"Отстреляем" серию протонов и убедимся, что в такой конфигурации опыта на каждый "выстрел" срабатывает только один из двух детекторов: либо D2+, либо D3-. Детекторы D2- и D3+ не срабатывают никогда. Получается вот что: если протон оказался в плюс-канале П1, то он гарантировано попадает и в плюс-канал П2. Аналогично, из минус-канала П1 протон гарантировано попадает в минус-канал П3. Очевидно, что если бы ПШГ действительно разбрасывал протоны по каналам беспорядочно, то такого результата мы бы не получили. Протоны на выходах П1 были бы ориентированы так же случайно, как и на его входе, и регистрировались бы с равной вероятностью всеми четырьмя детекторами. Так что мы можем уверенно утверждать: протон несёт в себе какой-то параметр состояния, согласно которому ПШГ "сортирует" протон в плюс- или минус-канал. Учитывая результаты предыдущих экспериментов, мы констатируем некоторое сходство это параметра с классическим моментом импульса. Поэтому продолжаем называть этот параметр спином и рисовать протон со стрелочкой. Да, а вот эта куча стрелочек, проткнувшая на рисунке 1.6 зелёный протон, будет означать, что спин протона не определён.
Чтобы дальше исследовать свойства спина, проделаем следующий эксперимент. (рисунок 1.7).
Прибор П1 у нас жестко зафиксирован и работает в качестве источника упорядоченных протонов. Так что в П2 попадают только такие протоны, которые гарантированно пройдут через ПШГ с вертикальной ориентацией. Ну а П2 может поворачиваться вокруг оси, показанной на рисунке штрихпунктирной линией на любой угол α. Теперь посмотрим, как будут срабатывать детекторы при разных значениях угла α. Разумеется, в зачёт пойдут только те попытки, когда срабатывает хотя бы один детектор. Если не ни один не срабатывает, значит, протон в П1 ушел в минус-канал, этот случай нас сейчас не интересует.
Для угла в 0° срабатывать будет только плюс-детектор D2+ (это мы уже видели в предыдущем эксперименте, рисунок 1.6). Теперь повернём измеритель на 1° и произведём серию "выстрелов". Здесь мы увидим, что иногда, очень редко, срабатывает минус-детектор D2-. Но "иногда" нас не устраивает, нам нужно определить вероятности срабатывания плюс-детектора или минус-детектора. Мы их легко посчитаем по следующим формулам.
Вероятность срабатывания плюс-детектора D2+:
где:
N(+) - количество срабатываний детектора D2+;
N(-) - количество срабатываний детектора D2-.
Соответственно, вероятность срабатывания минус-детектора D2-:
Как не трудно догадаться, вероятности P(+) и P(-) в сумме всегда дают единицу.
Итак, мы получили вероятности срабатывания того или иного детектора при α = 1°. Аналогичным образом мы можем проделать опыт для любых значений угла, и получить графики зависимости вероятностей P(+) и P(-) от угла α. Эти графики будут выглядеть так (рисунок 1.8).
А вот формулы этих зависимостей:
Утверждение 1.2:
Как видите, утверждение 1.2. сформулировано без слов. Тем не менее, смысл его вполне ясен, а кому не ясен - смотрите на графики.
Отметим «особые» случаи:
Если угол между ориентациями приборов П1 и П2 равен 0° (направления совпадают), то протон гарантировано попадает в плюс-детектор (вероятность этого события равна единице) и никогда не попадёт в минус-детектор.
Если угол равен 180° (направления противоположны), то ситуация обратная: будет срабатывать только минус-детектор.
Если угол равен 90° или 270° градусов (ориентации приборов перпендикулярны), то вероятности срабатывания плюс-детектора и минус-детектора одинаковы и равны 0,5.
При всех прочих значениях углов вероятности срабатывания плюс-детектора и минус-детектора будут различными, но в сумме они всё равно дадут единицу.
Для объяснения этих результатов можно предложить две версии.
Версия 1. Спин протона влияет на его "сортировку" при прохождении ПШГ. Но сам спин при этом не меняется.
Версия 2. Спин протона не только влияет на его "сортировку" при прохождении ПШГ, но и меняется при этом: в плюс-канале направление спина совпадает с ориентацией ПШГ, а в минус-канале направления противоположны.
Очередной эксперимент (рисунок 1.9) поможет нам выяснить, какая из этих версий правильная.
Засчитывать опять будем только результативные "выстрелы", когда срабатывает хотя бы один детектор. Результативных "выстрелов" будет примерно четверть: половину протонов отсеет в минус канал П1, ещё половину - П2.
Если верна версия 1 (спин протона при прохождении ПШГ не меняется), то будет срабатывать только плюс-детектор. Надо объяснять почему?
Если верна версия 2 (направление спина протона на плюс-выходе ПШГ совпадает с ориентацией ПШГ), то примерно в половине результативных попыток будет срабатывать плюс-детектор, а в половине - минус детектор.
Так вот, если мы реально проведём такой эксперимент, то увидим, что с равной вероятностью срабатывают оба детектора. Значит, верна версия 2.
Вернёмся чуть назад, к предыдущему опыту (рисунок 1.7) и его результатам (рисунок 1.8). Теперь мы точно знаем, что в плюс-канале П1 оказываются только те протоны, направление спина которых совпадает с ориентацией П1. А значит, утверждение 1.2 (формулы (1.3), (1.4)) определяют вероятности попадания протона в плюс-канал или в минус-канал в зависимости от угла между направлением спина протона и ориентацией прибора.
Кстати, обращаю внимание: утверждение 1.2. исчерпывающе объясняет результаты всех проделанных нами опытов, а также «поглощает» утверждение 1.1, сделанное в предыдущей части.
Формулы из утверждения 1.2 - типичный пример того, какие предсказания даёт квантовый подход. Как уже было сказано во введении, квантовая теория принципиально не позволяет точно вычислить результат эксперимента, но может точно вычислить вероятность того или иного результата. Вот и в нашем случае невозможно вычислить, какой детектор сработает, если угол α не равен 0° или 180°.
Теперь мы можем сформулировать обозначенную во введении проблему (детерминизм или случайность) на нашем конкретном примере. Посмотрите ещё раз на ситуацию, когда направление спина протона и ориентация прибора не параллельны. В этом случае может сработать либо плюс-детектор, либо минус-детектор. Классический (детерминистский) и квантовый (случайный) подход объясняют эту неопределённость по разному.
Классический подход: в системе, включающей протон и измеритель спина, заключены скрытые параметры, предопределяющие тот или иной результат измерения. Нам же выбор результата кажется случайным только потому, что мы этих параметров не знаем. Или, более философично: в системе протон - измеритель "записан" (или, если угодно, "запрограммирован") только один вариант будущего состояния системы, именно он и будет реализован.
Квантовый подход: в системе, включающей протон и измеритель спина, предопределено то, что мы получим один из двух результатов измерения. Также предопределена вероятность получения того или иного результата. Но выбор результата абсолютно случаен. Опять же, философично: в системе протон - измеритель "записаны" два варианта будущего состояния системы и вероятности реализации каждого из них. Но какой из них реализуется - это не предопределено.
В самых популярных статейках такой квантовый подход принято «объяснять» ещё следующим образом: протон перед попаданием в измеритель находится в двух состояниях одновременно (погуглите на тему «кот Шрейдингера»). А в измерителе протон скачкообразно переходит в одно из этих состояний. В более серьёзных статьях говорят, что перед попаданием в измеритель протон находится в суперпозиции состояний. А при измерении происходит разрушение суперпозиции (оно же - коллапс волновой функции, оно же - редукция).
Какой из двух подходов правильный - классический или квантовый? Как раз это мы и будем выяснять в «следующих сериях».
Продолжение - часть 2