Ты право, пьяное чудовище

[egovoru]

По моему разумению, математика знает только два вида истины. Первый - это аксиомы, то есть, утверждения, принятые за истину чисто условно, по договоренности. Иногда такие аксиомы не имеют четкой формулировки, а просто подразумеваются - как в «очевидно, что...» в начале математического рассуждения. Второй вид математической истины - это высказывания

Comments

[greygreengo]

А где Вы с Пенроузом на брудершафт пили?

[egovoru]

Я так и подумала, что читатели непременно отнесут обращение в заглавии поста на счет Пенроуза :) На самом деле, конечно, эти строчки - просто первое, что мне приходит в голову при слове "истина". Ну, может, после соответствующих пушкинских строк, но те я уже использовала в каком-то прежнем посте.

А что Вы скажете по поводу пенроузовского заключения о том, что наши мышление и сознание не могут быть алгоритмом?

[niktoinikak]

Хуже то, что Вы видимо не понимаете что такое аксиома :-)

[noname_rambler]

А попробуйте... Нет, не с Пенроузом выпить (хотя почему бы и не... вот с ним думаю можно), а алгоритмически выразить поиск такого числа.

[egovoru]

"алгоритмически выразить поиск такого числа"

Проблема в том, что я не до конца уверена, что действительно понимаю, что такое алгоритм. Тем более, что разные люди используют это слово в немного разных значениях: вот у Юрия Манина, например, и фермент - алгоритм :) Надо отдать ему должное, Пенроуз в своей книжке четко оговаривает, что он под алгоритмом будет понимать машину Тьюринга. Но я не уверена, что я достаточно четко представляю себе эту машину, чтобы рассуждать о том, что она может сделать, а что - нет :( А Вы?

[noname_rambler]

Юрий Мамин прав - если я правильно понимаю, что такое фермент

[egovoru]

"Пенроуз пытается доказать что нет, опираясь на теорему Геделя"

Да, но мне кажется, что эта теорема не имеет ни малейшего отношения к теореме Геделя. Пенроуз пишет, что человек может знать некоторые математические истины без логического вывода. Мне же думается, как я написала в посте, такие истины - это только аксиомы, которые мы принимаем вообще без доказательства. Мне думается, все дело упиратеся в платонизм: Пенроуз, видимо, полагает, хотя в явном виде этого утверждения в книжке я и не нашла, что эти самые логически невыводимые истины человек постигает непосредственно из платонического мира. Я же ни в какой такой мир не верю.

[bluxer]

Если это правда, то может быть, машине Тюринга не хватает знания каких-то общих концепций вроде того, что делится на два, а что нет?

Что касается аксиом, то надо полагать, они не устанавливаются, а объявляются.

[egovoru]

"машине Тюринга не хватает знания каких-то общих концепций вроде того, что делится на два, а что нет"

А почему же нельзя сообщить машине эти знания в качестве начальных условий?

"они не устанавливаются, а объявляются"

А в чем же разница между этими двумя словами?

[bluxer]

1. Вот и я спрашиваю, почему нельзя. По идее, должно быть можно.

2. Начальная посылка объявляется истинной без особых церемоний. Может быть, потому что очевидна.

[egovoru]

"Может быть, потому что очевидна"

Насколько я это понимаю, построение любого раздела математики возможно с использованием разных набором аксиом, и профессионалы тратят много усилий на то, чтобы выбрать систему аксиом наиболее удачно.

А что Вы имеете в виду под словом "очевидно"? Если то, что нечто соответствует нашему опыту в физическом мире, то да, на заре развития математики при выборе аксиом руководствовались этим: скажем, Эвклид сформулировал свой пятый постулат (как и все остальные) именно из этих соображений. Но впоследствии, насколько я понимаю, математика совершенно оторвалась от физики: сегодня никого уже не заботит, есть ли в физическом мире что-то такое, к чему приложимы те или иные математические построения, или нет.

[alex_new_york]

Математические рассуждения и доказательства используют массу логических конструкций, автоматическая применимость и оправданность которых совершенно не очевидна. Например, математик может предположить, что интересующий его объект А обладает свойством X, после чего примется рассуждать об остальных свойствах этого объекта, не чувствуя ни малейшего подвоха. В квантовой же физике, например, установление того факта, что объект А обладает свойством X, может подразумевать, что объект А изменен наблюдением свойства Х и его больше не существует, а существует новый объект В, поэтому об остальных свойствах объекта А рассуждать уже нет смысла.

[egovoru]

"массу логических конструкций, автоматическая применимость и оправданность которых совершенно не очевидна"

Применимость математических построений к физическому миру - это уже другая проблема. Пенроуз старается доказать, что человеческий ум способен к обнаружению такой истины (отсутствие нечетного числа, состоящего из двух четных - только самый элементарный пример их), которые машина Тьюринга найти не в состоянии. Из этого он делает вывод, что человеческое мышление невозможно смоделировать алгоритмом. На мой взгляд, рассуждать о том, алгоритмизуемо ли наше мышление, совершенно бесполезно до тех пор, пока мы не выясним его нейрофизиологические и биохимические механизмы. А Вы как думаете?

[alex_new_york]

Мне кажется, мы уже неплохо понимаем нейрофизиологию индивидуальных нейронов -и электрохимические её аспекты, и гормональные, и цитологические описывающие динамику возникновения и распада нейронных связей. Конечно, во многих деталях еще предстоит разбираться, но всё же основная проблема на сегодня - не столько прояснить до конца микрокартину, сколько понять логику эмерджентности макрологики мышления из процессов микроуровня.

Подозреваю, что эта макрологика не очень чувствительна к своей аппаратной микрореализации, так сказать. И что искусственные нейронные сети могут осуществлять достаточно адекватное картирование этой макрологики при условии доступа к сигналам микроуровня.

А что касается невозможности существования нечетной суммы четных чисел, то компьютерные программы давно способны доказывать несравненно более сложные математические теоремы.

[egovoru]

"мы уже неплохо понимаем нейрофизиологию индивидуальных нейронов

[xgrbml]

Of course, mathematics is discovered, not invented.

Высказывание про машину Тьюринга и нечетное число, которое можно представить в виде суммы двух четных, лишено смысла: машин Тьюринга много. Как насчет такой, которая напечатает "таких нет" и остановится?

[egovoru]

"mathematics is discovered, not invented"

В нашу компьютеризированную эпоху, действительно, легко стать платонистом :) Но меня, признаться, рассуждения о том, что в основе физического мира лежат не квантовые поля или суперструны, а "голая информация", приводят в недоумение: по мне, сколько ни говори "халва", во рту сладко не станет!

А Вы, вероятно, смогли бы объяснить мне, что же все-таки имел в виду Джон Уилер, когда отчеканил свое знаменитое "It from bit"? Я даже попыталась почитать его исходную статью об этом, но она, увы, далеко превосходит мои возможности понимания :(

"Как насчет такой, которая напечатает "таких нет" и остановится?"

Пенроуз почему-то считает, что ни одна машина к этому не способна. Из чего он делает глобальный вывод о том, что человеческое мышление и сознание неалгоритмизируемо. Мне же кажется, что рассуждать об этом до того, как мы выяснили нейрофизиологические и биохимические механизмы мышления и сознания, совершенно бессмыссленно. А Вы что думаете?