Мозготроллинг 80-го уровня.
Как мне подсказывают гуру языкознания, в английском есть словосочетание tongue twister, что значит "скороговорка", но дословный перевод которого открывает бесконечный горизонт для фантазии. Например, "языкозаплетатель" :) Мы же с вами весь январь занимаемся сезонной прокачкой мозга при помощи математических снарядов и тренажёров - эта активность также имеет в английском хорошее определение brain teaser, и оно также провоцирует фантазию: "мозговзрыв", "мозготряс" и, перейдя на 80 уровень литературного перевода, даже "мозготроллинг", чем мы сейчас по полной программе и займёмся.
Задачка нам предстоит очень и очень задачная забавная. И, поскольку в прошлый раз мы успешно порешали задачку про детей и орехи, теперь же напрашивается упражнение для взрослых:
Пять супружеских пар при встрече обменялись рукопожатиями. (Сам себе руку никто не жал, супруги тоже не жали друг другу руки.) Любопытный муж опросил жену и всех остальных, сколько они сделали рукопожатий. У всех девяти опрошенных числа оказались разными. Какое число назвала его жена?
Может показаться, что задачка какая-то идиотская и не может иметь нормального решения, но это не так. У неё есть вполне определённый и абсолютно однозначный ответ. Дерзайте!
А тем временем решение вчерашней детской задачки: В ряд стояло 10 детей. Каждый ребёнок отдал по ореху каждому из стоящих правее его. После этого у девочек стало на 25 орехов больше, чем было. Сколько в ряду девочек?
Самое простое и очевидное решение - просто "в лоб" подсчитать, кто сколько орехов отдаёт и получает -> Самый левый ребёнок отдаёт 9 орехов и не получает ничего. Второй слева отдаёт 8 и получает один, то есть “баланс” = -7 орехов. И так далее получаем следующие значения: -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9. Получить +25 орехов можно только сложив 1+3+5+7+9, то есть в ряду 5 девочек [и стоят они все справа].
Однако можно воспользоваться и всей мощью доступного математического инструментария. Условие задачки, если посмотреть на него этим самым мат-инструментарием, переформулируется вот таким образом:
где ai = 0 (в случае мальчика на i-ой позиции) или 1 (в случае девочки на i-ой позиции)
Откуда следует:
Или 9N - 2S = 25, где N = количество девочек, а S = сумма их позиций (от 0, если девочек совсем нет до 45, если там все девочки). Тогда:
2S = 9N - 25
Откуда видно, что количество девочек нечётно = {1,3,5,7,9}. Тут можно сразу догадаться, что задачка про мальчиков абсолютно симметрична, а это значит, что решение посередине, т.е. количество девочек равно количеству мальчиков, то есть ровно 5. Или же всё равно поколдовать с цифрами.
Только одной девочки быть не может, иначе 2S = отрицательно. Трёх девочек тоже быть не может, иначе сумма их позиций = 1, такого быть не может (сумма трёх разных неотрицательных чисел не равна 1). Аналогично рисуем формулу для мальчиков и получаем, что их также не может быть 1 или 3. То есть девочек в ряду пять штук. Всё!
Задачка нам предстоит очень и очень задачная забавная. И, поскольку в прошлый раз мы успешно порешали задачку про детей и орехи, теперь же напрашивается упражнение для взрослых:
Пять супружеских пар при встрече обменялись рукопожатиями. (Сам себе руку никто не жал, супруги тоже не жали друг другу руки.) Любопытный муж опросил жену и всех остальных, сколько они сделали рукопожатий. У всех девяти опрошенных числа оказались разными. Какое число назвала его жена?
Может показаться, что задачка какая-то идиотская и не может иметь нормального решения, но это не так. У неё есть вполне определённый и абсолютно однозначный ответ. Дерзайте!
А тем временем решение вчерашней детской задачки: В ряд стояло 10 детей. Каждый ребёнок отдал по ореху каждому из стоящих правее его. После этого у девочек стало на 25 орехов больше, чем было. Сколько в ряду девочек?
Самое простое и очевидное решение - просто "в лоб" подсчитать, кто сколько орехов отдаёт и получает -> Самый левый ребёнок отдаёт 9 орехов и не получает ничего. Второй слева отдаёт 8 и получает один, то есть “баланс” = -7 орехов. И так далее получаем следующие значения: -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9. Получить +25 орехов можно только сложив 1+3+5+7+9, то есть в ряду 5 девочек [и стоят они все справа].
Однако можно воспользоваться и всей мощью доступного математического инструментария. Условие задачки, если посмотреть на него этим самым мат-инструментарием, переформулируется вот таким образом:
где ai = 0 (в случае мальчика на i-ой позиции) или 1 (в случае девочки на i-ой позиции)
Откуда следует:
Или 9N - 2S = 25, где N = количество девочек, а S = сумма их позиций (от 0, если девочек совсем нет до 45, если там все девочки). Тогда:
2S = 9N - 25
Откуда видно, что количество девочек нечётно = {1,3,5,7,9}. Тут можно сразу догадаться, что задачка про мальчиков абсолютно симметрична, а это значит, что решение посередине, т.е. количество девочек равно количеству мальчиков, то есть ровно 5. Или же всё равно поколдовать с цифрами.
Только одной девочки быть не может, иначе 2S = отрицательно. Трёх девочек тоже быть не может, иначе сумма их позиций = 1, такого быть не может (сумма трёх разных неотрицательных чисел не равна 1). Аналогично рисуем формулу для мальчиков и получаем, что их также не может быть 1 или 3. То есть девочек в ряду пять штук. Всё!