Круговорот орехов в детском социуме. Или "опять двадцать пять!"
Как и обещал в прошлый раз - по-настоящему математические задачки-2023 у меня закончились. Остались разные другие, тоже забавные и весёлые, но которые не требуют корней-степеней, факториалов-интегралов и прочих функций Гаусса и принципов Дирихле. И для начала совершенно детская задачка:
В ряд стояло 10 детей. Каждый ребёнок отдал по ореху каждому из стоящих правее его. После этого у девочек стало на 25 орехов больше, чем было. Сколько в ряду девочек?
Девочкам с орехами опять повезло, а всем остальным предлагается изучить ответы на предыдущие три задачки, которые были "по-настоящему математические" =>
Задачка-1. Доказать, что число 111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]...111 является составным при любом n.
Решение:
111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]…111 =
111...[n+1 eдиница]...1111000...[n нулей]…000 + 111...[n+1 eдиница]...111 =
111...[n+1 eдиница]...111 * (1000...[n нулей]...000 + 1)
Задачка-2. Доказать, что число 4^545 + 545^5 является составным.
Решение: по (mod 3).
4^545 ≡ 1^545 (mod 3)
545^5 ≡ (-1)^5 (mod 3)
Таким образом 4^545 + 545^5 ≡ 0 (mod 3), т.е. делится на 3.
Задачка-3. Существует ли такое натуральное n, что 3^n заканчивается на 0001? Если да, то какое из них минимальное?
Решение-1: калькулятором.
3^n(mod 100) => 3 9 27 81 43 29 87 61 83 49 47 41 23 69 07 21 63 89 67 01
Ага, 3^20 = 3 486 784 401
Дальше играем с 3^20 и смотрим по (mod 10000). Шаг меньше 20 не нужен, поскольку ??01 * ??x1 не даст ??01. Смотрим Mod 10000 ->
3^20 = *4401
3^40 = *8801
3^80 = *7601
3^100 = *2001 <- ага! есть "001". Далее едем по 3^100 ->
3^200 = *4001
3^300 = *6001
3^400 = *8001
3^500 = *0001 <- есть! При чём это N=500 - минимальная степень, при которой возведение тройки в степень даёт *0001.
Решение-2: биномом Ньютона.
Рассматриваем вариант (34)n, поскольку только он заканчивается на 1. То есть ищем такое n, чтобы (34)n = 81n = (80 + 1)n заканчивалось на 0001.
Берём в руки Бином Ньютона:
81n = (1 + 80)n = sum( C(n, k) * 80n-k ) = 1 + n*80 + n2*C(n,2) + ...
То есть нужно найти такое n, чтобы n*80 + n2*C(n,2) + ... + n80 было кратно 10000. Смотрим на второй член бинома n*80 ->
n * 80 = 10000
n = 125
Легко увидеть, что все остальные члены бинома 80k * 125! / ( k! * (125 - k)! ) кроме k=1 при n=125 также будут кратны 10000 ->
k=2: 802 *124*125/2
- уже только 80*125 даёт 10000, а дальше будет ещё больше нулей. Всё.
Всем хорошего дня - и до следующих радиопередач! Оставайтесь на нашей волне, не пожалеете.
В ряд стояло 10 детей. Каждый ребёнок отдал по ореху каждому из стоящих правее его. После этого у девочек стало на 25 орехов больше, чем было. Сколько в ряду девочек?
Девочкам с орехами опять повезло, а всем остальным предлагается изучить ответы на предыдущие три задачки, которые были "по-настоящему математические" =>
Задачка-1. Доказать, что число 111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]...111 является составным при любом n.
Решение:
111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]…111 =
111...[n+1 eдиница]...1111000...[n нулей]…000 + 111...[n+1 eдиница]...111 =
111...[n+1 eдиница]...111 * (1000...[n нулей]...000 + 1)
Задачка-2. Доказать, что число 4^545 + 545^5 является составным.
Решение: по (mod 3).
4^545 ≡ 1^545 (mod 3)
545^5 ≡ (-1)^5 (mod 3)
Таким образом 4^545 + 545^5 ≡ 0 (mod 3), т.е. делится на 3.
Задачка-3. Существует ли такое натуральное n, что 3^n заканчивается на 0001? Если да, то какое из них минимальное?
Решение-1: калькулятором.
3^n(mod 100) => 3 9 27 81 43 29 87 61 83 49 47 41 23 69 07 21 63 89 67 01
Ага, 3^20 = 3 486 784 401
Дальше играем с 3^20 и смотрим по (mod 10000). Шаг меньше 20 не нужен, поскольку ??01 * ??x1 не даст ??01. Смотрим Mod 10000 ->
3^20 = *4401
3^40 = *8801
3^80 = *7601
3^100 = *2001 <- ага! есть "001". Далее едем по 3^100 ->
3^200 = *4001
3^300 = *6001
3^400 = *8001
3^500 = *0001 <- есть! При чём это N=500 - минимальная степень, при которой возведение тройки в степень даёт *0001.
Решение-2: биномом Ньютона.
Рассматриваем вариант (34)n, поскольку только он заканчивается на 1. То есть ищем такое n, чтобы (34)n = 81n = (80 + 1)n заканчивалось на 0001.
Берём в руки Бином Ньютона:
81n = (1 + 80)n = sum( C(n, k) * 80n-k ) = 1 + n*80 + n2*C(n,2) + ...
То есть нужно найти такое n, чтобы n*80 + n2*C(n,2) + ... + n80 было кратно 10000. Смотрим на второй член бинома n*80 ->
n * 80 = 10000
n = 125
Легко увидеть, что все остальные члены бинома 80k * 125! / ( k! * (125 - k)! ) кроме k=1 при n=125 также будут кратны 10000 ->
k=2: 802 *124*125/2
- уже только 80*125 даёт 10000, а дальше будет ещё больше нулей. Всё.
Всем хорошего дня - и до следующих радиопередач! Оставайтесь на нашей волне, не пожалеете.