Три задачки под окном. Решались поздно вечерком.
Январь уже почти закончился, скоро начнётся трудовой февраль с командировками в разные стороны, посему надо побыстрее дорешать задачки, оставшиеся с 2023 года. Сугубо математических, где степени и разные сложные числа, осталось всего три, дальше будут задачки с прочими уклонами. И вот эти три упражнения сегодня и предлагаются для раздумий и размышлений.
Первая задачка очень простая. В ней всего только две цифры участвуют - много единичек и одна двойка. Однако в процессе решения появляется и ещё одна цифра… Это в качестве подсказки.
Задачка-1. Доказать, что число 111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]...111 является составным при любом n.
Что интересно, в условии второй задачки тоже всего две цифры - четвёрки и пятёрки. И для решения этого упражнения опять потребуется ещё одна цифра! Ну, если честно, то потом ещё одна. И всё - в рассуждениях участвуют всего четыре разные цифры. Ну, и в самом-самом конце ещё одна :-)
Задачка-2. Доказать, что число 4^545 + 545^5 является составным.
А вот тут могут возникать самые разные наборы из самых произвольных десятичных цифр и чисел. Но не слишком много, решение у этой задачки конечное.
Задачка-3. Существует ли такое натуральное n, что 3^n заканчивается на 0001? Если да - то какое из них минимальное?
Всё на этом, дорогие любители математических приседаний - удачи вашему головному мозгу!
И, как обычно, ответы на три задачки из предыдущей серии:
Задачка-1. Существует ли арифметическая прогрессия, состоящая только из простых чисел?
Ответ: конечно же, нет!
Логическое решение: если бы существовали арифметические прогрессии простых чисел, то никто бы не мучился с поиском очередных очень больших простых чисел.
Арифметическое решение: предположим, что существует последовательность простых чисел, представляющих из себя арифметическую прогрессию:
p0 = a
p1 = a+d
...
pn = a+n*d
Тогда pa = a+a*d = a*(1+d) => a=1.
Тогда p2+d = 1 + (2+d)*d = 1 + 2d + d2 = (1+d)2
То есть p2+d - число составное. Противоречие.
Задачка-2. Сумма трёх различных наименьших делителей некоторого числа равна 8. На сколько нулей оканчивается это число?
Ответ: число оканчивается на один ноль.
Решение: какие бывают варианты трёх различных натуральных с единицей, чтобы сумма была 8?
1,2,5 - годится.
1,3,4 - не подходит. Если 4 - то должен быть делитель 2.
Всё, больше вариантов нет. То есть 2*5=10 - один ноль есть. Есть ли второй ноль? Нет: если там *00, то число делится на 4, и должен быть делитель 2. Итого, число оканчивается на один ноль.
Задачка-3. Натуральное n*874 = ???92, чему равно n?
Ответ: два варианта: 58, 108.
Решение: перепишем условие арифметически:
n*874 = 100x + 92 /2 - делим на 2 обе части и чуть-чуть колдуем..
n*437 = n*19*23 = 50x + 46 = 2*(25x + 23)
n*19*23 = 2*(25x + 23)
=> x делится на 23. Пусть x=23*y, тогда:
n*19 = 2*(25*y + 1)
т.е. 6*y ≡ 18 (mod 19) => y = 19*z + 3
По условию x - трёхзначное число. А поскольку x = 23*y = 437*z + 69 => z = {1, 2}
=> x = {506, 943} => ***92 = {50692, 94392}
Итого: => n = ***92/874 = {58, 108}.
Всё на этом, до завтра!
Первая задачка очень простая. В ней всего только две цифры участвуют - много единичек и одна двойка. Однако в процессе решения появляется и ещё одна цифра… Это в качестве подсказки.
Задачка-1. Доказать, что число 111...[n eдиниц]...1112111...[n eдиниц]...111 является составным при любом n.
Что интересно, в условии второй задачки тоже всего две цифры - четвёрки и пятёрки. И для решения этого упражнения опять потребуется ещё одна цифра! Ну, если честно, то потом ещё одна. И всё - в рассуждениях участвуют всего четыре разные цифры. Ну, и в самом-самом конце ещё одна :-)
Задачка-2. Доказать, что число 4^545 + 545^5 является составным.
А вот тут могут возникать самые разные наборы из самых произвольных десятичных цифр и чисел. Но не слишком много, решение у этой задачки конечное.
Задачка-3. Существует ли такое натуральное n, что 3^n заканчивается на 0001? Если да - то какое из них минимальное?
Всё на этом, дорогие любители математических приседаний - удачи вашему головному мозгу!
И, как обычно, ответы на три задачки из предыдущей серии:
Задачка-1. Существует ли арифметическая прогрессия, состоящая только из простых чисел?
Ответ: конечно же, нет!
Логическое решение: если бы существовали арифметические прогрессии простых чисел, то никто бы не мучился с поиском очередных очень больших простых чисел.
Арифметическое решение: предположим, что существует последовательность простых чисел, представляющих из себя арифметическую прогрессию:
p0 = a
p1 = a+d
...
pn = a+n*d
Тогда pa = a+a*d = a*(1+d) => a=1.
Тогда p2+d = 1 + (2+d)*d = 1 + 2d + d2 = (1+d)2
То есть p2+d - число составное. Противоречие.
Задачка-2. Сумма трёх различных наименьших делителей некоторого числа равна 8. На сколько нулей оканчивается это число?
Ответ: число оканчивается на один ноль.
Решение: какие бывают варианты трёх различных натуральных с единицей, чтобы сумма была 8?
1,2,5 - годится.
1,3,4 - не подходит. Если 4 - то должен быть делитель 2.
Всё, больше вариантов нет. То есть 2*5=10 - один ноль есть. Есть ли второй ноль? Нет: если там *00, то число делится на 4, и должен быть делитель 2. Итого, число оканчивается на один ноль.
Задачка-3. Натуральное n*874 = ???92, чему равно n?
Ответ: два варианта: 58, 108.
Решение: перепишем условие арифметически:
n*874 = 100x + 92 /2 - делим на 2 обе части и чуть-чуть колдуем..
n*437 = n*19*23 = 50x + 46 = 2*(25x + 23)
n*19*23 = 2*(25x + 23)
=> x делится на 23. Пусть x=23*y, тогда:
n*19 = 2*(25*y + 1)
т.е. 6*y ≡ 18 (mod 19) => y = 19*z + 3
По условию x - трёхзначное число. А поскольку x = 23*y = 437*z + 69 => z = {1, 2}
=> x = {506, 943} => ***92 = {50692, 94392}
Итого: => n = ***92/874 = {58, 108}.
Всё на этом, до завтра!