шар и его сфера vs куб и его грани
Пожалуй, шары и кубы разной мерности являются основными предметами общей геометрии, природы которых при этом существенно отличны.
Действительно, если
k-шар радиуса R с центром О - k-мерное тело, ограниченное (k-1)-сферой, представляющей собой множество точек на расстоянии R от центра О, и имеющее максимальный объем при данной площади поверхности ограничивающей его (k-1)-сферы,
то сущность куба резко отлична от сущности шара:
k-куб - k-мерное тело, ограниченное 2k (k-1)-гранями, представляющими собой (k-1)-кубы, каждый из которых граничит с 2(k-1) (k-1)-гранями, и имеющее максимальный объем при данной площади поверхности из объемов ограничивающих его (k-1)-граней.
k = 0 - точка не имеет собственных граней
.
k = 1 - отрезок, ограниченый двуми своими концами - гранями-вершинами
._______________.
k = 2 - круг и квадрат
круг ограничен окружностью, квадрат - правильным 4-угольником из 4 граней-ребер
k = 3 - шар и куб
шар ограничен сферой, куб - системой из 6 граней-квадратов
число j-граней k-куба -- Ck,j = Ckj 2k-j, где Ckj = k! / ((k-j)! j!), j = 0,1,...,k.
площадь поверхности j-граней k-куба с длиной ребра L -- Sk,j = Ck,j L j .
общее число граней k-куба всех размерностей -- Ck = Ck,0 +...+ Ck,k = 3k
- таинственным образом связывает k-куб с 3-кубом не зависимо от k.
Действительно, если
k-шар радиуса R с центром О - k-мерное тело, ограниченное (k-1)-сферой, представляющей собой множество точек на расстоянии R от центра О, и имеющее максимальный объем при данной площади поверхности ограничивающей его (k-1)-сферы,
то сущность куба резко отлична от сущности шара:
k-куб - k-мерное тело, ограниченное 2k (k-1)-гранями, представляющими собой (k-1)-кубы, каждый из которых граничит с 2(k-1) (k-1)-гранями, и имеющее максимальный объем при данной площади поверхности из объемов ограничивающих его (k-1)-граней.
k = 0 - точка не имеет собственных граней
.
k = 1 - отрезок, ограниченый двуми своими концами - гранями-вершинами
._______________.
k = 2 - круг и квадрат
круг ограничен окружностью, квадрат - правильным 4-угольником из 4 граней-ребер
k = 3 - шар и куб
шар ограничен сферой, куб - системой из 6 граней-квадратов
число j-граней k-куба -- Ck,j = Ckj 2k-j, где Ckj = k! / ((k-j)! j!), j = 0,1,...,k.
площадь поверхности j-граней k-куба с длиной ребра L -- Sk,j = Ck,j L j .
общее число граней k-куба всех размерностей -- Ck = Ck,0 +...+ Ck,k = 3k
- таинственным образом связывает k-куб с 3-кубом не зависимо от k.