Вероятность попадания очередью...

[aleksey_lvov]

Рассморим две иллюстрации:

1. На первой у нас представлена мишень №8 с наложенными попаданиями очереди. Срединные отклонения пуль Вб=Вв=0,1 метра, СТП находится в центре цели, 100 выстрелов. Как легко убедиться в цель попало 86 пуль из 100, иным словами вероятность попадания отдельной пули p=0,86.
2. На второй представлена та же мишень №8 и те же попадания, но СТП смещено вправо на 0,4 метра и вверх на 0,4 метра. В этом случае в цель попало только 10 пуль (попадание в край мишени тоже считаем.), вероятность попадания отдельной пули р=0,1

Каким же образом рассчитать вероятность попадания очереди из n выстрелов? Рассмотрим сначала на примере двупульной очереди. Вероятность попадания очереди будет равна P=p+p*q, где q - вероятность промаха первой пули. Вспомнив тождество p+q=1 можно заменив q получить P=p+p(1-p)=2p-p^2. Но так просто только с двупульной очередью, при увеличении длины очереди надо будет вероятность попадания n-й пули умножать на вероятности промаха предыдущих пуль и сложность формулы растет. Значительно проще считать обратным способом: вероятность попадания очереди это P=1-q*q*q*..., т.е, надо перемножить вероятность промахов всех пуль очереди, получив таким образом полную вероятность промаха -Q, и вычесть ее из 1. В случае когда вероятности попадания каждой пули одинаковы (и промаха тоже) то вероятность попадания очереди длиной n выстрелов будет равна P=1-q^n.
Как считать вероятность попадания одной пули я писал в одном из предыдущих постов, для случая систематического (фиксированного) отклонения СТП вводится небольшая поправка в формулы. Но это два самых простых случая которых в жизни практически не бывает. В жизни обычно отклонение СТП является случайной величиной со своим вероятным отклонением и мы не можем задать фиксированное отклонение и посчитать с ним вероятность как для второй иллюстрации. Для понимания сути процесса и его расчета посмотрим на следующую иллюстрацию...



На иллюстрации представлена сетка рассеивания с шагом в одно срединное отклонение, 8 отклонений по высоте (±4 отклонения) и 8 в боковом направлении, в каждой клетке показана вероятность попадания в эту саму клетку. О сетке рассеивания и эллипсе рассеивания я писал в предыдущем посте.  В центре сетки будет находится эквивалентный прямоугольник цели, сетка показывает отклонение СТП очереди из-за ошибки стрельбы (Ес). Суть расчета состоит в том, что мы помещаем СТП в центр клеточки сетки рассеивания, например в левую нижнюю, и считаем вероятность промаха очереди по цели (как описывалось выше), потом полученное число умножаем на вероятность попадания СТП в эту клеточку, далее перемещаемся в следующую клетку и повторяем этот процесс пока не обойдем все 8*8=64 клетки. Сумма всех 64 чисел даст нам полную вероятность промаха очереди - Q, и как написано выше P=1-Q. Это сама суть метода, в практической же реализации немного сложнее, т.к. шаг сетки в одно отклонение слишком велик, а отклонение ограниченное величиной ±4Ес не достаточно велико, потому результат будет неточным, а конкретно - достаточно далеким от реальности. Потому при расчете максимальное отклонение СТП лучше ограничить величиной не менее ±5Ес, а шаг сетки сделать не более 1/5 Ес. Т.е. сама сетка будет размером с 10*10 отклонений, а количество клеточек 50*50=2500, в этом случае точность расчета получается достаточная. Естественно этот способ (численное интегрирование) применим только для машинных расчетов.
Для более точного расчета, с использованием фигурных целей, а не их эквивалентных прямоугольников можно использовать метод Монте-Карло. Суть этого метода показана на двух верхних иллюстрациях:
1. Мы генерируем случайное число (два числа вертикально и боковое) - отклонение СТП очереди, затем генерируем 2n случайных чисел - отклонения пуль относительно СТП.
2. Берем координаты первой пули и смотрим - попала ли она в область фигурной цели? Если попала, то засчитываем попадание (увеличиваем счетчик на 1) и следующие пули очереди отбрасываем. Если промах то переходим ко второй пуле и опять сморим попадание или промах и т.д. до попадания или пока не кончится очередь.
3. Повторяем пункты 1 и 2 миллион раз после чего делим число попаданий на миллион и получаем вероятность попадания в цель очередью.

Есть способы ручного вычисления вероятности попадания очереди достаточно точные для практических расчетов, но писать про них здесь считаю излишним, особенно в наше время повальной компьютеризации.