Рассуждения о дифференцировании.
Что такое дифференцирование? По сути дела это способ замены сложного(нелинейного) объекта, объектом попроще. Что важно: замена локальная, то есть ее осмысленность чем выше, чем ближе мы к исходной точке, в которой мы дифференцируем. Какой объект замены простой: стандартный ответ - линейный. Причем мы требуем, чтобы разница между исходным объектом и его аппроксимацией было объектом "меньшим", чем аппроксимант в каком-то смысле. Формульно это выражается
f(x)-f(a)=L(x-a)+Errow(x,a;f)
где Errow(x,a;f)=o(x-a).
Так вот, когда мы находимся в конечномерном случае, то там у нас не очень много потенциальных кандидатов на локальную линейную аппроксимацию. Причина в том, что линейных функций мало. Потому, по сути дела, сам процесс вычисления дифференциала- линейного аппроксиманта L, есть автоматический предельный переход
Lim [f(x+th)-f(x)]/t =L(x,h;f)=f'(x)h
при t к нулю
Если, конечно, сей предел имеет смысл.
Это все конечномерный случай
Однако, что происходит при переходе к бесконечномерному пространству. Люди просто банально переносят процедуры локальной линейной аппроксимации нелинейного оператора, и определяют таким образом дифференцируемость по Фреше и Гато соответственно. И знаете, что интересно - я не помню толковых приложений бесконечномерного дифференцирования. Причин тому много. Например, производная по Фреше как правило не существует для нужных операторов, а производная Гато говорит довольно мало о самом нелинейном операторе.
Так вот, мне тут по просмотру одной статьи подумалось, что люди не используют очень важную особенность бесконечномерного пространства. А именно, там у нас в отличие от конечномерного очень много Линейных операторов. Реально много, поскольку нас даже никто не заставляет задавать их всюду, вполне может оказаться достаточным плотного множества.
А раз у нас линейных аппроксимантов стало много, то можно отойти от конечномерной схемы, и искать дифференциал, ослабляя предельную процедуру, однако выигрывая в чем-то другом. Например, можно пытаться найти дифференциал, для которого Errow(x,h;f) мало(хотя не так мало, как у дифференциала Фреше-Гато), но L например со специальными свойствами Фредгольмовости(компактности). Да, дифференциал тогда становится неединственным, но зато он становится очень удобным в использовании.
Е. Я. Антоновский, “Изучение негладких отображений гильбертовых пространств методами гладкого анализа”, УМН, 35:3(213) (1980), 134-137
http://mi.mathnet.ru/umn3498
Другими словами, надо использовать бесконечномерность как плюс, а не минус. Даже пространство L(H,H) для гильбертова простанства реально огромно, потому имеет смысл вместо точных дифференциалов Фреше (Гато) использовать другие линейные аппроксиманты, пользуясь этой огромностью.
Кстати, другое направление, это вместо линейных аппроксимантов, использовать как дифференциалы другие специальные классы операторов (например линейно-квадратичные с ограничениями), но этот подход мне совсем не встречался.
Update:
Стоит отметить, что проблемы связанные с применением классических производных в бесконечномерном случаю во многом вызваны этой самой бесконечномерностью. Смотрите, в попытках установить дифференциал сначала мы начинаем считать производные по направлениям. И пусть они все существуют(то есть существует дифференциал по Гато). Так вот в силу бесконечномерности не факт, что мы сможем собрать все эти частичные пределы в одну линейную ограниченную производную Фреше. Причем проблемы могут быть даже на этапе линейности. Но пусть даже нам удалось установить существование сильной производной Фреше. Опять-таки, так как пространство линейных операторов огромно, может оказаться что мы мало что можем сказать о свойствах этого линейного оператора. Другими словами, в бесконечномерном пространстве сама теория линейных операторов может быть очень сложным объектом. Именно поэтому нам нужна не только аппроксимирующая линейная производная, но желательно из тех классов операторов, о которых мы знаем что-то хорошее. Один из таких классов - фредгольмовы операторы. В статье по ссылке как раз вводится понятие почти сильного фредгольмова дифференцирования, и указывается несколько симпатичных результатов.
f(x)-f(a)=L(x-a)+Errow(x,a;f)
где Errow(x,a;f)=o(x-a).
Так вот, когда мы находимся в конечномерном случае, то там у нас не очень много потенциальных кандидатов на локальную линейную аппроксимацию. Причина в том, что линейных функций мало. Потому, по сути дела, сам процесс вычисления дифференциала- линейного аппроксиманта L, есть автоматический предельный переход
Lim [f(x+th)-f(x)]/t =L(x,h;f)=f'(x)h
при t к нулю
Если, конечно, сей предел имеет смысл.
Это все конечномерный случай
Однако, что происходит при переходе к бесконечномерному пространству. Люди просто банально переносят процедуры локальной линейной аппроксимации нелинейного оператора, и определяют таким образом дифференцируемость по Фреше и Гато соответственно. И знаете, что интересно - я не помню толковых приложений бесконечномерного дифференцирования. Причин тому много. Например, производная по Фреше как правило не существует для нужных операторов, а производная Гато говорит довольно мало о самом нелинейном операторе.
Так вот, мне тут по просмотру одной статьи подумалось, что люди не используют очень важную особенность бесконечномерного пространства. А именно, там у нас в отличие от конечномерного очень много Линейных операторов. Реально много, поскольку нас даже никто не заставляет задавать их всюду, вполне может оказаться достаточным плотного множества.
А раз у нас линейных аппроксимантов стало много, то можно отойти от конечномерной схемы, и искать дифференциал, ослабляя предельную процедуру, однако выигрывая в чем-то другом. Например, можно пытаться найти дифференциал, для которого Errow(x,h;f) мало(хотя не так мало, как у дифференциала Фреше-Гато), но L например со специальными свойствами Фредгольмовости(компактности). Да, дифференциал тогда становится неединственным, но зато он становится очень удобным в использовании.
Е. Я. Антоновский, “Изучение негладких отображений гильбертовых пространств методами гладкого анализа”, УМН, 35:3(213) (1980), 134-137
http://mi.mathnet.ru/umn3498
Другими словами, надо использовать бесконечномерность как плюс, а не минус. Даже пространство L(H,H) для гильбертова простанства реально огромно, потому имеет смысл вместо точных дифференциалов Фреше (Гато) использовать другие линейные аппроксиманты, пользуясь этой огромностью.
Кстати, другое направление, это вместо линейных аппроксимантов, использовать как дифференциалы другие специальные классы операторов (например линейно-квадратичные с ограничениями), но этот подход мне совсем не встречался.
Update:
Стоит отметить, что проблемы связанные с применением классических производных в бесконечномерном случаю во многом вызваны этой самой бесконечномерностью. Смотрите, в попытках установить дифференциал сначала мы начинаем считать производные по направлениям. И пусть они все существуют(то есть существует дифференциал по Гато). Так вот в силу бесконечномерности не факт, что мы сможем собрать все эти частичные пределы в одну линейную ограниченную производную Фреше. Причем проблемы могут быть даже на этапе линейности. Но пусть даже нам удалось установить существование сильной производной Фреше. Опять-таки, так как пространство линейных операторов огромно, может оказаться что мы мало что можем сказать о свойствах этого линейного оператора. Другими словами, в бесконечномерном пространстве сама теория линейных операторов может быть очень сложным объектом. Именно поэтому нам нужна не только аппроксимирующая линейная производная, но желательно из тех классов операторов, о которых мы знаем что-то хорошее. Один из таких классов - фредгольмовы операторы. В статье по ссылке как раз вводится понятие почти сильного фредгольмова дифференцирования, и указывается несколько симпатичных результатов.