Формула Эйлера, том II
Завершаем обсуждение формулы Эйлера
Продолжая рассуждения предыдущей части, в итоге получаем степенной ряд (он же ряд Маклорена, он же ряд Тейлора) для экспоненты
который прекрасно сходится и ничуть не страдает, если вещественную переменную х заменить в нем на комплексную z:
Вообще, по нынешним временам, именно этот ряд нередко берут как определение экспоненты, а ее остальные свойства из него выводятся. Например, то, что при дифференцировании этот ряд переходит сам в себя, достаточно очевидно, по-моему.
Обратите внимание, насколько простая идея стоит за кулисами ряда Тейлора. Если положить
=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k)
То автоматически=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k)
}(x_0)=k!\cdot&space;a_k)
благодаря тому, что слева от k-го члена слагаемые обнулятся дифференцированием, а справа за счет ненулевой степени разности. И вуаля:
=\sum_{k=0}^{\infty}f^{(k)}(x_0)\frac{(x-x_0)^k}{k!})
Но да, нюанс. Это все конечно весело и приятно, но сходимость полученных рядов следует исследовать отдельно, тут целое поле граблей, по которым математики 18 века вдоволь находились. И здесь как раз вступают в бой все те признаки и свойства сходимости, почленной дифференцируемости и т.п. из курса матанализа. Но мы этим здесь заниматься не будем, а будем верить мне на слово.
Еще одно замечание по дороге. Если мы определяем экспоненту в виде ряда, то совершенно необязательно в этот ряд подставлять числа. Если для некоторых сущностей определены операции сложения, умножения между собой и умножения на число, а так же осмысленно понятие предела, то есть задана банахова алгебра, то ряд для экспоненты имеет вполне себе внятный смысл. Например, можно взять экспоненту от квадратной матрицы. А то и еще чего почище учудить. Но это уже другая история.
Возвращаясь к формуле Эйлера, я уже без вывода, прямо запишу:
И, чтоб упростить вам восприятие:
Ряды у нас хорошие, складывать их можно как угодно. И на данном этапе формула
представляется совершенно очевидной. Видимо Эйлер именно так к ней и пришел: играясь с рядами Маклорена.
Если пойти еще немгого дальше, то вообще окажется, что синус и косинус удобнее определить следующим образом:
а дальнейшие нужные нам свойства тригонометрических функций доказать.
Кстати, обратите внимание, что выражение
)
имеет период два пи вдоль мнимой оси. Так что, помимо известных свойств, у экспоненты появились и некоторые новые. Представить заранее, что экспонента станет периодической функцией, было бы (наверное) довольно сложно.
Напоследок скажу, что хотя формула Муавра уже была известна к моменту открытия Эйлера, возможность представить любое комплексное число в виде
открыла совершенно новые, невиданные возможности. В качестве простого и очень примитивного примера, чтобы не быть голословным, напомню, что именно на этом представлении базируются всем известные методы расчета линейных цепей переменного тока. Есть и куда более интересные применения, но о них как-нибудь в другой раз.
Продолжая рассуждения предыдущей части, в итоге получаем степенной ряд (он же ряд Маклорена, он же ряд Тейлора) для экспоненты
который прекрасно сходится и ничуть не страдает, если вещественную переменную х заменить в нем на комплексную z:
Вообще, по нынешним временам, именно этот ряд нередко берут как определение экспоненты, а ее остальные свойства из него выводятся. Например, то, что при дифференцировании этот ряд переходит сам в себя, достаточно очевидно, по-моему.
Обратите внимание, насколько простая идея стоит за кулисами ряда Тейлора. Если положить
То автоматически
благодаря тому, что слева от k-го члена слагаемые обнулятся дифференцированием, а справа за счет ненулевой степени разности. И вуаля:
Но да, нюанс. Это все конечно весело и приятно, но сходимость полученных рядов следует исследовать отдельно, тут целое поле граблей, по которым математики 18 века вдоволь находились. И здесь как раз вступают в бой все те признаки и свойства сходимости, почленной дифференцируемости и т.п. из курса матанализа. Но мы этим здесь заниматься не будем, а будем верить мне на слово.
Еще одно замечание по дороге. Если мы определяем экспоненту в виде ряда, то совершенно необязательно в этот ряд подставлять числа. Если для некоторых сущностей определены операции сложения, умножения между собой и умножения на число, а так же осмысленно понятие предела, то есть задана банахова алгебра, то ряд для экспоненты имеет вполне себе внятный смысл. Например, можно взять экспоненту от квадратной матрицы. А то и еще чего почище учудить. Но это уже другая история.
Возвращаясь к формуле Эйлера, я уже без вывода, прямо запишу:
И, чтоб упростить вам восприятие:
Ряды у нас хорошие, складывать их можно как угодно. И на данном этапе формула
представляется совершенно очевидной. Видимо Эйлер именно так к ней и пришел: играясь с рядами Маклорена.
Если пойти еще немгого дальше, то вообще окажется, что синус и косинус удобнее определить следующим образом:
а дальнейшие нужные нам свойства тригонометрических функций доказать.
Кстати, обратите внимание, что выражение
имеет период два пи вдоль мнимой оси. Так что, помимо известных свойств, у экспоненты появились и некоторые новые. Представить заранее, что экспонента станет периодической функцией, было бы (наверное) довольно сложно.
Напоследок скажу, что хотя формула Муавра уже была известна к моменту открытия Эйлера, возможность представить любое комплексное число в виде
открыла совершенно новые, невиданные возможности. В качестве простого и очень примитивного примера, чтобы не быть голословным, напомню, что именно на этом представлении базируются всем известные методы расчета линейных цепей переменного тока. Есть и куда более интересные применения, но о них как-нибудь в другой раз.