Веселые квадраты
Обещанную здесь методику решила изложить в несколько приемов. Надеюсь, что мои "веселые квадраты" :) помогут гражданам с образным мышлением усвоить всякие математические абстракции.
Что такое квадрат числа? Да это тот же самый квадрат, который вам и трехлетний ребенок покажет. Нарисуем его на бумажке в клеточку, и можно хоть совсем ничего не умножать, не запоминать - достаточно аккуратно пересчитать клеточки :) (верно также для любого прямоугольника, только неквадратный прямоугольник - это когда мы два разных числа перемножаем, длину и ширину соответственно).
Вот, к примеру, квадрат 10 - доска для стоклеточных шашек :)
10 клеточек по горизонтали, 10 по вертикали - 100 клеточек. 10 х 10 = 100.
Допустим, что мы как-то запомнили, что десять на десять (оно же десять в квадрате) равно сто. А если забыли про квадрат числа 9?
Ну отрезали по одной клеточке, чтоб остался квадрат 9 Х 9. Видите, закрашенные. С одного боку 10 отрезали, а снизу уже только 9 осталось. 100 - 10 - 9 = 81.
А если забыли квадрат 11? Можно точно так же расширить квадрат. Был 10 на 10 - вбок плюс 10 клеточек, вниз плюс 10 клеточек, в уголочке еще одна образовалась. 100 + 10 + 10 + 1 = 121.
Вот в более общем виде картинка: число изменяется аж на 2 единицы, чтоб сложнее было!
Пора изложить в общем виде. Допустим, белый квадрат - это квадрат со стороной a, которое мы хотим увеличить на b
(на картинке b = 2, но может быть и любым другим).
Новый квадрат со стороной (a + b) - это, как вы видите, квадрат а (беленький) плюс два прямоугольничка а х b (красненькие) плюс один маленький квадратик со стороной b (желтенький).
ЧТо это? Это формула сокращенного умножения. "Квадрат суммы а плюс бэ равен сумме квадратов а и бэ плюс удвоенное произведение а и бэ". Раньше я, если забывала такую формулу, тупо перемножала скобку на скобку и боялась что-нибудь пропустить. А когда нарисуешь - ничего не пропустишь.
Точно так же, на этом же рисунке, можно решить, что большой квадрат - это а, а уменьшаем мы его на b, тогда белый - это (а - b)(a - b) , и равен он вот чему: аа - bb - 2 b(a - b) = aa - bb - 2ab + 2bb = aa - 2 ab + bb, тоже знакомая формула.
А еще закрашенные части - это разность квадратов (большого и белого), чтоб доказать, что это (a + b)(a - b), придется резать :)
Продолжение следует.
Что такое квадрат числа? Да это тот же самый квадрат, который вам и трехлетний ребенок покажет. Нарисуем его на бумажке в клеточку, и можно хоть совсем ничего не умножать, не запоминать - достаточно аккуратно пересчитать клеточки :) (верно также для любого прямоугольника, только неквадратный прямоугольник - это когда мы два разных числа перемножаем, длину и ширину соответственно).
Вот, к примеру, квадрат 10 - доска для стоклеточных шашек :)
10 клеточек по горизонтали, 10 по вертикали - 100 клеточек. 10 х 10 = 100.
Допустим, что мы как-то запомнили, что десять на десять (оно же десять в квадрате) равно сто. А если забыли про квадрат числа 9?
Ну отрезали по одной клеточке, чтоб остался квадрат 9 Х 9. Видите, закрашенные. С одного боку 10 отрезали, а снизу уже только 9 осталось. 100 - 10 - 9 = 81.
А если забыли квадрат 11? Можно точно так же расширить квадрат. Был 10 на 10 - вбок плюс 10 клеточек, вниз плюс 10 клеточек, в уголочке еще одна образовалась. 100 + 10 + 10 + 1 = 121.
Вот в более общем виде картинка: число изменяется аж на 2 единицы, чтоб сложнее было!
Пора изложить в общем виде. Допустим, белый квадрат - это квадрат со стороной a, которое мы хотим увеличить на b
(на картинке b = 2, но может быть и любым другим).
Новый квадрат со стороной (a + b) - это, как вы видите, квадрат а (беленький) плюс два прямоугольничка а х b (красненькие) плюс один маленький квадратик со стороной b (желтенький).
ЧТо это? Это формула сокращенного умножения. "Квадрат суммы а плюс бэ равен сумме квадратов а и бэ плюс удвоенное произведение а и бэ". Раньше я, если забывала такую формулу, тупо перемножала скобку на скобку и боялась что-нибудь пропустить. А когда нарисуешь - ничего не пропустишь.
Точно так же, на этом же рисунке, можно решить, что большой квадрат - это а, а уменьшаем мы его на b, тогда белый - это (а - b)(a - b) , и равен он вот чему: аа - bb - 2 b(a - b) = aa - bb - 2ab + 2bb = aa - 2 ab + bb, тоже знакомая формула.
А еще закрашенные части - это разность квадратов (большого и белого), чтоб доказать, что это (a + b)(a - b), придется резать :)
Продолжение следует.