Вопрос ЧГК

May 12, 2024 10:17


ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В прямоугольном треугольнике АВС один острый угол в два раза больше другого. А площадь этого треугольника (в кв.см.) численно равна его периметру(в см.). Найдите все стороны этого треугольника. Ответ обосновать.

Скрин 2 дня. Успехов!

Доска почета: old_greeb  lena_ashdod  red_elk1  soobrazim_na  panda_pandus  pryanik  ikikRead more... )

вопрос ЧГК

Leave a comment

Comments 34

old_greeb May 12 2024, 07:48:01 UTC
Треугольник с углами 30 и 60 градусов. Принимая гипотенузу за x, получаем для катетов значения x/2 и x*sqrt(3)/2.
Приравнивая выражения для площади и периметра, решая получившееся квадратное уравнение с нулевым свободным членом и отбрасывая посторонний корень x = 0, получаем
x = 4*sqrt(3) + 4
x/2 = 2*sqrt(3) + 2
x*sqrt(3)/2 = 6 + 2*sqrt(3)

Reply

wolfriend May 14 2024, 06:19:14 UTC

Да!

Reply


lena_ashdod May 12 2024, 07:59:29 UTC

Углы 60 и 30. Противолежащий углу 30 катет а вдвое короче гипотенузы с т.к. sin 30 =1/2.

с=2а

в = 2а * cos 30

в = 2а * ✓3/2 = а✓3

Площадь равна периметру.

ав/2 = а+в+2а

ав = 6а+2в

а^2 * ✓3 = 6а + 2а✓3

а✓3 = 6 + 2✓3 = в

Ответ:

а = 2✓3 + 2 = 2 * (1 + ✓3)

в = 2 * (3 + ✓3)

с = 2а = 4 * (1 + ✓3)

Reply

wolfriend May 14 2024, 06:19:32 UTC

Да!

Reply


red_elk1 May 12 2024, 08:37:45 UTC

Сумма острых углов = 90 градусов, значит углы равны 30 и 60 градусов

Площадь равна AB/2, периметр A+B+C

A = C*sin(30) = C/2

B = C*cos(30) = C*sqrt(3)/2

Решив эту систему уравнений, получаем

A = 2*sqrt(3)+2 (5.46)

B = 2*sqrt(3)+6 (9.46)

C = 4*sqrt(3)+4 (10.93)

Reply

wolfriend May 14 2024, 06:19:45 UTC

Да!

Reply


soobrazim_na May 12 2024, 08:42:08 UTC

Обозначим малый катет треугольника х, тогда гипотенуза это 2х, а большой катет х√3, так как получившиеся в треугольнике углы 30° и 60°.

Приравниваем площадь треугольника (х*х√3)/2 и сумму сторон х+2х+х*√3, решаем и получаем, что стороны равны 2+2√3, 2√3+6 и 4+4√3.

Reply

wolfriend May 14 2024, 06:20:14 UTC

Да!

Reply


pryanik May 12 2024, 11:27:20 UTC

А такой треугольник точно может существовать? Я в двух вариантах прорешал, оба раза один из катетов получается больше гипотенузы, а это вроде как невозможно.

Reply

wolfriend May 12 2024, 12:52:39 UTC

Вы где-то ошиблись.

Reply

pryanik May 12 2024, 12:54:08 UTC

Понял, буду искать, где.

Reply

pryanik May 12 2024, 13:48:21 UTC

Нашёл косяк, исправил, получилось. Приведу оба варианта решения. Первый, подлиннее:

Сначала находим острые углы треугольника. Известно, что их сумма равна 90 градусам (180-90) и один вдвое больше другого. Принимаем меньший угол за х и получаем:

х+2х=90

3х=90

х=30

Острые углы рассматриваемого прямоугольного треугольника равны 30 и 60 градусам.

Переходим к определению сторон. Начнём с катетов. Известно, что площадь этого треугольника (в кв. см.) численно равна его периметру. Обозначаем:

катет AC как а, прилегающий к нему острый угол в 60 градусов как А;

катет ВС как b, прилегающий к нему острый угол в 30 градусов - как В;

гипотенузу АВ как с, противолежащий ей прямой угол как С.

Получаем:

S=ab/2

P=a+b+c

S=P

ab/2=a+b+c

Выражаем катет b и гипотенузу с через катет а:

c=a/cosA=a/cos60=a/(1/2)=2a

b=a*ctgB=a*sqrt3

Подставляем полученные значения в равенство выше:

(а*(a*sqrt3)/2=a+(a*sqrt3)+2a

(a^2*sqrt3)/2=3a+(a*sqrt3)

(a^2*sqrt3)/2-3a-(a*sqrt3)=0

Заменяем а на х:

(sqrt3*x^2)/2-3x-(sqrt3*x)=0

Это квадратное уравнение вида ax^2+bx+c=0, где a=( ( ... )

Reply


Leave a comment

Up
[]