ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
В прямоугольном треугольнике АВС один острый угол в два раза больше другого. А площадь этого треугольника (в кв.см.) численно равна его периметру(в см.). Найдите все стороны этого треугольника. Ответ обосновать.
Скрин 2 дня. Успехов!
Доска почета:
old_greeb lena_ashdod red_elk1 soobrazim_na panda_pandus pryanik ikik
(
Read more... )
Comments 34
Приравнивая выражения для площади и периметра, решая получившееся квадратное уравнение с нулевым свободным членом и отбрасывая посторонний корень x = 0, получаем
x = 4*sqrt(3) + 4
x/2 = 2*sqrt(3) + 2
x*sqrt(3)/2 = 6 + 2*sqrt(3)
Reply
Да!
Reply
Углы 60 и 30. Противолежащий углу 30 катет а вдвое короче гипотенузы с т.к. sin 30 =1/2.
с=2а
в = 2а * cos 30
в = 2а * ✓3/2 = а✓3
Площадь равна периметру.
ав/2 = а+в+2а
ав = 6а+2в
а^2 * ✓3 = 6а + 2а✓3
а✓3 = 6 + 2✓3 = в
Ответ:
а = 2✓3 + 2 = 2 * (1 + ✓3)
в = 2 * (3 + ✓3)
с = 2а = 4 * (1 + ✓3)
Reply
Да!
Reply
Сумма острых углов = 90 градусов, значит углы равны 30 и 60 градусов
Площадь равна AB/2, периметр A+B+C
A = C*sin(30) = C/2
B = C*cos(30) = C*sqrt(3)/2
Решив эту систему уравнений, получаем
A = 2*sqrt(3)+2 (5.46)
B = 2*sqrt(3)+6 (9.46)
C = 4*sqrt(3)+4 (10.93)
Reply
Да!
Reply
Обозначим малый катет треугольника х, тогда гипотенуза это 2х, а большой катет х√3, так как получившиеся в треугольнике углы 30° и 60°.
Приравниваем площадь треугольника (х*х√3)/2 и сумму сторон х+2х+х*√3, решаем и получаем, что стороны равны 2+2√3, 2√3+6 и 4+4√3.
Reply
Да!
Reply
А такой треугольник точно может существовать? Я в двух вариантах прорешал, оба раза один из катетов получается больше гипотенузы, а это вроде как невозможно.
Reply
Вы где-то ошиблись.
Reply
Понял, буду искать, где.
Reply
Нашёл косяк, исправил, получилось. Приведу оба варианта решения. Первый, подлиннее:
Сначала находим острые углы треугольника. Известно, что их сумма равна 90 градусам (180-90) и один вдвое больше другого. Принимаем меньший угол за х и получаем:
х+2х=90
3х=90
х=30
Острые углы рассматриваемого прямоугольного треугольника равны 30 и 60 градусам.
Переходим к определению сторон. Начнём с катетов. Известно, что площадь этого треугольника (в кв. см.) численно равна его периметру. Обозначаем:
катет AC как а, прилегающий к нему острый угол в 60 градусов как А;
катет ВС как b, прилегающий к нему острый угол в 30 градусов - как В;
гипотенузу АВ как с, противолежащий ей прямой угол как С.
Получаем:
S=ab/2
P=a+b+c
S=P
ab/2=a+b+c
Выражаем катет b и гипотенузу с через катет а:
c=a/cosA=a/cos60=a/(1/2)=2a
b=a*ctgB=a*sqrt3
Подставляем полученные значения в равенство выше:
(а*(a*sqrt3)/2=a+(a*sqrt3)+2a
(a^2*sqrt3)/2=3a+(a*sqrt3)
(a^2*sqrt3)/2-3a-(a*sqrt3)=0
Заменяем а на х:
(sqrt3*x^2)/2-3x-(sqrt3*x)=0
Это квадратное уравнение вида ax^2+bx+c=0, где a=( ( ... )
Reply
Leave a comment