СТУПЕНЬ ТРЕТЬЯ. Шаг четвёртый. Триадная модель "жертва-хищник-суперхищник"
Этот недлинный Шаг смогут сделать лишь те читатели, чей разум обременён знанием основ высшей математики. При этом читатель с гуманитарным складом ума может его пропустить, - нисколько не рискуя в дальнейшем идти не в ногу с немногочисленными «технарями» и безо всякого ущерба для понимания излагаемых в книге идей.
«Остерегайтесь математиков и всех тех, кто делает пустые пророчества. Есть опасность, что они заключили договор с дьяволом, дабы смутить душу и ввергнуть человека в пучину Ада».
Аврелий Августин (Блаженный), 354 - 430гг.
Далее я практически дословно привожу описание модели «жертва-хищник», данное Владимиром Игоревичем Арнольдом в брошюре «"Жесткие" и "мягкие" математические модели», изданной к Всероссийской конференции «Математики и общество. Математическое образование на рубеже Веков» (Дубна, 18-22 сентября 2000 года). Брошюра представляет собой текст доклада, прочитанного академиком Арнольдом в 1997 году на семинаре при Президентском совете РФ. Целью доклада было рассказать чиновникам о применениях теории дифференциальных уравнений в таких науках, как экология, экономика и социология.
Моделью «жертва-хищник» принято называть знаменитую модель Лотка-Вольтерра, систему двух дифференциальных уравнений первой степени, описывающую борьбу за существование двух популяций, одна из которых является для другой пищевым ресурсом:
dX/dt = a*X - c*X*Y,
dY/dt = -b*Y + m*X*Y, [1]
где dX/dt, dY/dt - соответственно производные от X и Y по времени, X - число карасей, Y - число щук (желающие могут считать, что X - трудящиеся, а Y - организованные преступники).
Коэффициент «a» описывает скорость естественного прироста числа карасей в отсутствие щук, коэффициент «b» - естественное вымирание щук, лишенных карасей. Вероятность взаимодействия карася и щуки считается пропорциональной как количеству карасей, так и числу щук (уитывается в членах уравнений, содержащих произведение «X*Y»). Каждый акт взаимодействия уменьшает популяцию карасей (член «- c*X*Y» в правой части первого уравнения) но способствует увеличению популяции щук (член «m*X*Y» в правой части второго уравнения).
Модель Лотка-Вольтерра не обладает свойством структурной устойчивости, поскольку малые изменения описывающих модель параметров и функций существенно влияют на решения приведенных уравнений. Математический анализ этой (жесткой) модели показывает, что имеется стационарное состояние (A), всякое же другое начальное состояние (например, Б) приводит к периодическому колебанию численности как карасей, так и щук, так что по прошествии некоторого времени их количество возвращается к первоначальному состоянию в точке Б (см. рис. 10).
Рис. 10
При введении в модель малых изменений
dX/dt = a*X - c*X*Y + E*f(X,Y),
dY/dt = -b*Y + m*X*Y + E*g(X,Y), [2]
где E << 1,
к правым частям уравнений добавляются малые члены (учитывающие, например, конкуренцию карасей за пищу и щук за карасей). В результате вывод о цикличности системы (о периодическом возвращении её в исходное состояние Б), справедливый для первоначальной, жесткой системы Лотка-Вольтерра, теряет силу. В зависимости от вида малых поправок f (X,Y) и g(X,Y) возможны, например, уже структурно устойчивые сценарии, изображённые на рис. 11 а), б) и в).
Рис. 11 а)
В случае, изображённом на рис. 11 а), равновесное состояние A устойчиво. При любых других начальных условиях (например, из точки Б) система через достаточно большой промежуток времени вернётся в это устойчивое положение.
Рис. 11 б)
В случае, изображённом на рис. 11 б), система «идет в разнос». Стационарное состояние неустойчиво, и малейшее отклонение от него приводит то к резкому увеличению числа бандитов, то к их почти полному вымиранию (вследствие того, что они настолько ограбили трудящихся, что взять уже нечего). Такая система в конце концов попадает в область столь больших или столь малых значений X и Y, что модель перестает быть применимой: происходит изменение законов эволюции, т. е. революция.
Комментарий.
Отдадим должное тонкому юмору академика.
Выступающий перед начальством Арнольд по понятным причинам говорил о народе и бандитах, а также о том, что согласно изложенной модели в результате засилья бандитов происходит революция. Вряд ли хотя бы один из этих позёвывая внимавших академику номенклатурных аристократов (современный аналог «родовой знати» и высшего чиновничества, два века назад названных А.С.Пушкиным «светской чернью») понял, что решения дифференциальных уравнений описывают действительность лишь в том случае, если вместо слова «бандиты» употребить эквивалентное для наших реалий слово «власть».
Рис. 11 в)
В случае, изображённом на рис. 11 в), в системе с неустойчивым стационарным состоянием A с течением времени устанавливается периодический режим C (в котором, скажем, радикалы и консерваторы периодически сменяют друг друга). В отличие от исходной жесткой модели Лотка-Вольтерра, в этой модели установившийся периодический режим не зависит от начальных условий. Любое отклонение от стационарного состояния A приводит не к малым колебаниям вокруг A, как в жёсткой модели Лотка-Вольтерра, а к колебаниям вполне определенной (и не зависящей от значения отклонения) амплитуды. Возможны и другие структурно устойчивые сценарии (например, с несколькими периодическими режимами).
В заключении академик Арнольд даёт ряд рекомендаций, которые мы приводим дословно:
«Вывод: жесткую модель всегда надлежит исследовать на структурную устойчивость полученных при её изучении результатов по отношению к малым изменениям модели (делающим её мягкой).
В случае модели Лотка-Вольтерра для суждения о том, какой же из сценариев 1-3 (или иных возможных) реализуется в данной системе, совершенно необходима дополнительная информация о системе (о виде малых поправок f и g в нашей формуле).
Математическая теория мягких моделей указывает, какую именно информацию для этого нужно иметь. Без этой информации жесткая модель может привести к качественно ошибочным предсказаниям. Доверять выводам, сделанным на основании жесткой модели, можно лишь тогда, когда они подтверждаются исследованием их структурной устойчивости».
Перейдём к «конструированию» системы дифференциальных уравнений, соответствующих цикличной модели «жертва-хищник-суперхищник-жертва».
Заметка на полях.
Помимо описанной выше модели Лотка-Вольтерра, динамику дуальной пары Власть-Народ описывает модель структурно-демографических циклов [1] , согласно которой «основная сила, разрушающая государство - рост населения, ведущий к постепенному падению душевого дохода, пока в конечном итоге излишек сверх голодного существавания становится недостаточным, чтобы удовлетворить правящий класс [2] » . О том же другими словами - в приведённой нами в начале первого Шага на третьей Ступени цитате Владимира Баранова: начальство подобно саранче, которая, сожрав все доступные ей пищевые ресурсы, в итоге подыхает с голоду.
В результате структурно-демографического моделирования получается «…петля связей: рост населения -> увеличение расходов государства -> быстрый рост численности элиты -> превышение несущей способности занимаемой территории -> кризис элиты -> развал государства -> резкое сокращение населения. В соответствии с моделью эта цепочка дает колебания с периодом 200-300 лет. При наличии ресурсов может начаться новый цикл [3] ...»
Нашей задачей является поиск иного способа сосуществования граждан государства, не приводящий к его, государства, периодическому развалу.
Для этого напишем уравнение для популяционной динамики суперхищника, Z. Третье уравнение в левой части будет содержать производную dZ/dt, в правой части будут присутствовать как члены, отвечающие за динамику популяции Z в роли жертвы популяции X , так и члены, отвечающие за динамику популяции Z в роли хищника для популяции Y. В результате получаем:
dZ/dt = h*Z*Y - i*Z*X + j*Z [3]
h, i, > 0
Обратите внимание - мы считаем, что члены популяции Z питаются исключительно членами популяции Y (положительный знак перед членом h*Z*Y), при этом сами члены популяции Z являются пищей для членов популяции X (отрицательный знак перед членом i*Z*X). При этом мы оставили в правой части уравнения член, пропорциональный Z; при k > 0 этот член отвечает за рост популяции Z в качестве жертвы популяции X, при k < 0 - уменьшение популяции Z в качестве хищника для популяции Y.
Модифицировав аналогичным способом первые два уравнения модели Лотка-Вольтера [1], получим систему уравнений для нашей циклически замкнутой модели «жертва-хищник-суперхищник-жертва»:
dX/dt = a*X*Z - b*X*Y + c*X,
dY/dt = e*Y*X - f*Y*Z + g*Y,
dZ/dt = h*Z*Y - i*Z*X + j*Z, [4]
где dX/dt, dY/dt, dZ/dt - соответственно производные от X, Y и Z по времени, X - число жертв, Y - число хищников, Z - число суперхищников. Схема, соответствующая системе уравнний [4], приведена на рис. 12.
Близким природе аналогом такой модели может стать всё та же модель с карасями и щуками, дополненная популяцией придонных червей, питающимися погибшими от бескормицы щуками (черви, таким образом, выступают в качестве суперхищника). Сами щуки при этом червями брезгуют, зато караси червей поедают с привеликим удовольствием.
Аналогия не совсем полная - в живой природе черви с равным усердием поедают не только погибших щук, но и погибших карасей, но мы считаем, что караси в первую очередь достаются всё-таки щукам - до старости не доживают и от старости не умирают. К тому же, живая система всегда открыта - она имеет доступ к энергии Солнца и материи из окружающего мира. Поэтому решения с коэффициентами c, g, j > 0 в большей степени соответсвуют жизненным реалиям - особенно если мы примем во внимание, что пишем уравнения с целью моделирования динамики социальной триады, состоящей из Воинов, Дельцов и Жрецов, практикующих каннибализм лишь в исключительно неблагоприятных жизненных условиях.
Рис.12
Как и прежде, на рис.9, параметры модели, обозначаемые на рис.12 литерами a, b, c, e, f, g, h, i, j, есть коэффициенты, описывающие интенсивность взаимодействия между собою жертвы (X), хищника (Y) и суперхищника (Z). Нетрудно заметить, что в отличие от представленной на рис.9 схемы взаимодействия, наша абсолютно симментрична относительно трёх рассматриваемых элементов.
В поучительной книге Александра Никонова «Бей первым. Главная загадка Второй мировой» есть такие слова: «У нас, людей, пишущих на научно-популярные темы, не зря говорят: каждая формула в книге уменьшает число читателей вдвое». Формул было уже достаточно, так что не желая потерять и тебя, единственно «уцелевший» читатель, спешу тебя успокоить: мы обязательно разберёмся с системой дифуров [4], но это уже будет не здесь и не сейчас.
Мы обязательно найдём самые красивые решения этой системы, поймём их физический (а точнее, социологический) смысл, и нарисуем в MATLAB’е траектории, соответствующие этим решениям (исходя из соображений о равенстве сил в стационарной триаде, решениям для стационарного состояния социума соответствуют следующие ограничения, налагаемые на параметры: a = e= h, b =f = i, c = g = j ). Мы предполагаем, что найденные решения дадут траектории подобные той, что нарисована на рис.6. Если же нам повезёт, эти траектории будут не менее красивы (обладая при этом не меньшим практическим смыслом), чем знаменитый странный аттрактор Лоренца, изображённый на рис.13.
«А для низкой жизни были числа,
Как домашний, подъяремный скот,
Потому что все оттенки смысла
Умное число передает».
Николай Гумилев. «Слово»
Рис.13
В завершении этого шага отметим, что триадная модель «жертва-хищник-суперхищник-жертва» может оказаться полезной на всех описанных нами ранее уровнях - от динамики возбуждения-торможения нервных комплексов человека, динамики социальной триады в рамках государства и до динамики геополитической триады. Как говорил академик Альберт Макарьевич Молчанов: «Вчерашняя математика - это сегодняшняя физика и завтрашняя технология». В том числе - технология и социальная, управленческая.
Заметка на полях.
Вас, скорее всего, уже не удивляет мысль, что в любой момент времени в мире одни государства питаются другими. Новой, скорее всего, будет мысль о том, что питаясь одними государствами, любая страна обязательно одновременно питает собой какое-то другое государство.
[1] Нефедов С.А., Турчин П.В. Опыт моделирования демографических циклов// История и Математика: макроисторическая динамика общества и государства/ Ред. С.Ю.Малков, Л.Е.Горин, А.В.Коротаев М., КомКнига/URSS, 2007. С.153-167.
[2] Турчин П.В. Историческая динамика. На пути к теоретической истории М., ЛКИ/URSS, 2007. С.196.
[3] Малинецкий Г. Г. Искус математической истории, http://cliodynamics.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=32&Itemid=43
Вернуться
Оглавление
Далее