Беседа 4. Потенциальная энергия
Коллега, о потенциальной энергии, пожалуйста, поподробнее.
Вы, мой друг, совершенно правильно интересуетесь важнейшей составляющей полной энергии.
Принято считать, что потенциальная энергия является частью общей энергии системы, зависящей от взаимного расположения материальных частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле (гравитационное, электрическое поле).
Силовым полем мы называем ту часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила.
Численно потенциальная энергия системы в данном её положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при её перемещении из этого положения в то, где потенциальная энергия равна нулю.
Коллега, энергией обладает только пробное тело в потенциальном поле или потенциальное поле тоже?
Для ответа на Ваш вопрос открываем БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и в разделе «Поля физические» читаем (дословно):
«Поля физические, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами полей физических могут служить электромагнитное и гравитационное поля...».
Отсюда следует, что потенциальное поле является материальной средой. Значит, как и любая материальная среда, это поле обладает энергией (соответственно, и массой). Кстати, это подтверждается, к примеру, наличием в поле электромагнитных волн, которые являются колебаниями этой материальной среды.
Конкретные границы поля определить сложно, поэтому физики давно привыкли оперировать энергией, содержащейся в единице объёма, то есть - объёмной плотностью энергии потенциального поля (измеряется в Дж/м3). Возьмём, к примеру, книгу Зильбермана «Электричество и магнетизм» (Наука, М., 1970) и на стр. 136 читаем (дословно):
«В плоском конденсаторе и вообще в однородном поле плотность энергии, т. е. энергия, содержащаяся в единице объёма, постоянна и равна полной энергии, делённой на объём».
Коллега, раз уж потенциальное поле является материальной средой, то должно характеризоваться конкретными параметрами, которые можно вычислить и измерить.
Вы совершенно правы. Мы уже выяснили, что электрическое (потенциальное) поле характеризуется таким параметром, как объёмная плотность энергии (далее - давление, Дж/м3 или Н/м2). Кроме этого, потенциальное поле характеризуется потенциалом и его градиентом - напряженностью поля. Причем, давление, потенциал и напряженность характеризуют потенциальное поле в данной его точке, независимо от наличия в этой точке пробного тела, ибо поле, как мы уже знаем, само обладает энергией и массой.
Если потенциальную энергию (WП, Дж) отнести к единичной массе (m, кг) или к единичному электрическому заряду (q, Кл), то получим гравитационный (v2 = WП/m, Дж/кг) или электрический (U = WП/q, Дж/Кл) потенциалы.
Градиентом потенциала в данной его точке является напряженность поля:
- для гравитационного поля: g = - grad v2;
- для электрического: E = - grad U (о знаке речь пойдет ниже).
Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis - шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины от одной точки пространства к другой.
С удалением от центра поля изменяется не только потенциал, но и потенциальная энергия. И её градиентом является сила, которую мы называем силой тяготения.
Дополнение: Мы уже договорились, что градиентом гравитационного потенциала является напряженность гравитационного поля g = - grad v2. Помножив эти два параметра на массу, мы получим, соответственно, значение силы (F = mg) и потенциальной энергии (WП = mv2). Следовательно, силу тоже можно считать градиентом энергии в данной точке поля (F = - grad W).
Аналогично для электрического поля: напряженность электрического поля E = - grad U, сила F = qE, потенциальная энергия WП = qU. Значит, и здесь F = - grad W.
Уравнение F = - grad W показывает, что работа сил вдоль замкнутой траектории в потенциальном поле всегда равна нулю.
Коллега, какие единицы измерения наиболее приемлемы для вышеназванных параметров?
Очень хороший вопрос. СИЛА измеряется в ньютонах (Н = кг*м/с2) или в Дж/м. Второй вариант записи более приемлемый, ибо сразу даёт нам указание на то, что сила является всего лишь ГРАДИЕНТОМ ЭНЕРГИИ (Дж/м). Это важно, ибо упрощает дальнейшее понимание физических процессов. Кстати, это касается не только силы, но и таких параметров, как давление и потенциал.
ДАВЛЕНИЕ измеряется в Н/м2 или в Дж/м3. Здесь тоже более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает нам на ОБЪЁМНУЮ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ (Дж/м3).
ПОТЕНЦИАЛ измеряется в м2/с2 или в Дж/кг (для гравитационного поля) и в (кг/Кл)*( м2/с2) или Дж/Кл (для электрического поля). И здесь более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает на значение потенциальной энергии, отнесенной к единице массы (Дж/кг) для гравитационного поля или отнесенной к единице электрического заряда (Дж/Кл) для электрического поля.
И наконец, коллега, давайте рассмотрим, как определяется значение потенциальной энергии.
Пожалуй, теперь мы готовы решать и эту проблему. Значение потенциальной энергии определяется двумя способами:
- упрощенный (приближенный) - для однородного поля;
- общий (истинный) - для неоднородного поля, которое нас реально и окружает.
Потенциальное поле можно условно считать однородным, если вектор напряженности во всех его точках имеет одно и то же значение и направление. К примеру, для гравитационного поля это правило можно применить только у поверхности Земли на небольшом её участке (скажем, в лабораторном опыте). В этом случае для упрощения расчетов значение потенциальной энергии пробного тела на поверхности Земли условно принимается равной нулю, а её значение в любой другой точке определяется из уравнения:
WП = mgh, Дж,
где g - напряженность гравитационного поля (Н/кг), а h - вертикальное расстояние (м) от поверхности Земли до пробного тела массой m (кг).
Здесь знак перед значением потенциальной энергии принципиального значения не имеет.
Коллега, но ведь это и есть наиболее распространенный способ определения потенциальной энергии.
Более того, для математиков он является практически единственным.
Причина в том, что в математике потенциальная энергия определяется через свои производные и в этом случае непосредственный смысл имеет только разность её значений, ибо абсолютное значение потенциальной энергии после интегрирования включает некоторую произвольную постоянную. Поэтому математики выбирают нулевое значение потенциальной энергии произвольно (чаще всего - у поверхности Земли), хотя реально она имеет это значение только на границе поля.
К сожалению, многие учебники физики на этом и завершают определение потенциальной энергии. Но не все. Взять, к примеру, Общий курс физики Сивухина (Москва, МФТИ, 2005) или американский курс Физики в переводе под редакцией Ахматова (Москва, Наука, 1974).
Здесь рассматривается:
- уже известный нам способ определения потенциальной энергии пробного тела в однородном поле тяжести у поверхности Земли (том 1, стр. 144-145 первого источника и часть III, стр.152-157 второго источника);
- и общий способ определения потенциальной энергии для неоднородного поля (том 1, стр. 145-146 первого источника и часть III, стр.157-159 второго источника).
Общий способ расчета дает уже отрицательное значение потенциальной энергии:
- уравнение (25.6) W(U) = - GMm/r в первом источнике и
- уравнение W(Ur) = - GMm/r - во втором.
Отрицательное значение потенциальной энергии здесь объясняется следующим образом:
- в первом источнике (цитата): «Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна»;
- во втором источнике дано доказательство правильности уравнения W(Ur) = - GMm/r.
И действительно, свободно падающее к центру поля тело увеличивает свою кинетическую энергию, которую приобретает за счёт потенциальной энергии поля. Значит, потенциальная энергия с уменьшением расстояния (r) между центрами масс (M и m) уменьшается и, наоборот, с увеличением расстояния - увеличивается.
Учитывая, что в уже известном нам уравнении WП = - GMm/r символ радиуса находится в знаменателе, то предельно ясно, что с увеличением расстояния (значение радиуса стремится к бесконечности) потенциальная энергия увеличивается до... нуля. Такое возможно только в том случае, если потенциальная энергия во всяком другом положении отрицательна.
Вывод: потенциальная энергия для материальной среды (силового поля) отрицательна.
Отсюда следует, что значение гравитационного потенциала v2 = WП/m = - GM/r тоже отрицательно. И подтверждением этому является уравнение (3) в разделе «Тяготение» (стр. 772) Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного раздела Большой Советской Энциклопедии.
Аналогично определяется значение потенциальной энергии и электрического потенциала в электрическом поле. Причем далее мы убедимся в том, что потенциальная энергия и её объёмная плотность (давление) ОДИНАКОВЫ и для гравитационного, и для электрического полей.
Коллега, теперь попробуйте записать Ваше высказывание в виде формулы...
Формулы пишут математики, а физики пользуются уравнениями. Необходимые уравнения здесь уже приводились. Однако попробуем, все же, обойтись пока без них, тем более - без «формул».
Для этого используем бытовые наблюдения, которые подсказывают: чтобы испарить воду, кипящую в чайнике, нужно сжечь некоторое количество дров или газа. Другими словами, нужно совершить работу. С помощью термометра можно убедиться, что температура кипящей воды и температура пара над ней одинаковы. Следовательно, одинакова и средняя энергия движения (кинетическая энергия) частиц в кипящей воде и в паре.
Дополнение: Тем, кто не может проверить это утверждение с помощью термометра, можно открыть раздел «Кипение» в БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и прочесть (даю дословно): «Температура, при которой происходит кипение жидкости, находящейся под постоянным давлением, называется температурой кипения, которая соответствует температуре насыщенного пара (температуре насыщения) над плоской поверхностью кипящей жидкости».
Вывод: тепловая энергия, передаваемая кипящей воде от топлива, преобразуется в энергию взаимодействия (потенциальную энергию) частиц испаряющейся воды. Значит, энергия связи частиц в кипящей воде меньше, чем в водяном паре. Но в паре эта энергия практически равна нулю, следовательно, энергия взаимодействия частиц в жидкости меньше нуля, т.е. отрицательна.
Коллега, Ваши доводы убедительны и примеры Вы приводите неопровержимые. Однако не все думают так же.
И здесь Вы совершенно правы. Для физиков проблем с пониманием сути и знака потенциальной энергии нет, ибо они гравитационное поле, в том числе и поле тяготения Земли, считают НЕОДНОРОДНЫМ. Для физиков напряженность гравитационного поля изменяется с расстоянием в квадрате: g = Gm/r2.
Однако математики так не думают. Для них гравитационное поле является ОДНОРОДНЫМ с неизменной напряженностью гравитационного поля (вроде этот параметр и не зависит от радиуса). Значение потенциальной энергии они определяют по упрощенной формуле W = mgh. Они не связывают h с радиусом поля, а считают его простым отрезком между двумя произвольными точками этого поля. Поэтому для них потенциальная энергия может принимать нулевое значение в любой понравившейся им точке. Нонсенс, но бывает и такое.
Но есть ещё и «физико-математики». Их мнение зависит от того, насколько они физики или математики.
Коллега, почему Вы считаете, что математики «тяготеют» к однородному полю?
В подтверждение этому открываем Краткий курс математического анализа (Бермант, Араманович, 2005) и на стр. 520 в разделе «Теория поля» читаем:
«Векторное поле называется однородным, если А(Р) - постоянный вектор, т.е. Ах, Аy и Az - постоянные величины.
Примером однородного поля может служить, например, поле тяжести».
Теперь и сами видите, что математики гравитационное поле называют «полем тяжести» и «всерьёз» считают его однородным. И это не просто безобидное заблуждение, ибо оно мешает нам осознать Природу гравитации. Однако, об этом мы поговорим немного позже.
На главную
Вы, мой друг, совершенно правильно интересуетесь важнейшей составляющей полной энергии.
Принято считать, что потенциальная энергия является частью общей энергии системы, зависящей от взаимного расположения материальных частиц, составляющих эту систему, и от их положений во внешнем силовом поле (гравитационное, электрическое поле).
Силовым полем мы называем ту часть пространства, в каждой точке которой на помещенную туда материальную частицу действует определённая по величине и направлению сила.
Численно потенциальная энергия системы в данном её положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при её перемещении из этого положения в то, где потенциальная энергия равна нулю.
Коллега, энергией обладает только пробное тело в потенциальном поле или потенциальное поле тоже?
Для ответа на Ваш вопрос открываем БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и в разделе «Поля физические» читаем (дословно):
«Поля физические, особая форма материи; физическая система, обладающая бесконечно большим числом степеней свободы. Примерами полей физических могут служить электромагнитное и гравитационное поля...».
Отсюда следует, что потенциальное поле является материальной средой. Значит, как и любая материальная среда, это поле обладает энергией (соответственно, и массой). Кстати, это подтверждается, к примеру, наличием в поле электромагнитных волн, которые являются колебаниями этой материальной среды.
Конкретные границы поля определить сложно, поэтому физики давно привыкли оперировать энергией, содержащейся в единице объёма, то есть - объёмной плотностью энергии потенциального поля (измеряется в Дж/м3). Возьмём, к примеру, книгу Зильбермана «Электричество и магнетизм» (Наука, М., 1970) и на стр. 136 читаем (дословно):
«В плоском конденсаторе и вообще в однородном поле плотность энергии, т. е. энергия, содержащаяся в единице объёма, постоянна и равна полной энергии, делённой на объём».
Коллега, раз уж потенциальное поле является материальной средой, то должно характеризоваться конкретными параметрами, которые можно вычислить и измерить.
Вы совершенно правы. Мы уже выяснили, что электрическое (потенциальное) поле характеризуется таким параметром, как объёмная плотность энергии (далее - давление, Дж/м3 или Н/м2). Кроме этого, потенциальное поле характеризуется потенциалом и его градиентом - напряженностью поля. Причем, давление, потенциал и напряженность характеризуют потенциальное поле в данной его точке, независимо от наличия в этой точке пробного тела, ибо поле, как мы уже знаем, само обладает энергией и массой.
Если потенциальную энергию (WП, Дж) отнести к единичной массе (m, кг) или к единичному электрическому заряду (q, Кл), то получим гравитационный (v2 = WП/m, Дж/кг) или электрический (U = WП/q, Дж/Кл) потенциалы.
Градиентом потенциала в данной его точке является напряженность поля:
- для гравитационного поля: g = - grad v2;
- для электрического: E = - grad U (о знаке речь пойдет ниже).
Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis - шагающий), вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины от одной точки пространства к другой.
С удалением от центра поля изменяется не только потенциал, но и потенциальная энергия. И её градиентом является сила, которую мы называем силой тяготения.
Дополнение: Мы уже договорились, что градиентом гравитационного потенциала является напряженность гравитационного поля g = - grad v2. Помножив эти два параметра на массу, мы получим, соответственно, значение силы (F = mg) и потенциальной энергии (WП = mv2). Следовательно, силу тоже можно считать градиентом энергии в данной точке поля (F = - grad W).
Аналогично для электрического поля: напряженность электрического поля E = - grad U, сила F = qE, потенциальная энергия WП = qU. Значит, и здесь F = - grad W.
Уравнение F = - grad W показывает, что работа сил вдоль замкнутой траектории в потенциальном поле всегда равна нулю.
Коллега, какие единицы измерения наиболее приемлемы для вышеназванных параметров?
Очень хороший вопрос. СИЛА измеряется в ньютонах (Н = кг*м/с2) или в Дж/м. Второй вариант записи более приемлемый, ибо сразу даёт нам указание на то, что сила является всего лишь ГРАДИЕНТОМ ЭНЕРГИИ (Дж/м). Это важно, ибо упрощает дальнейшее понимание физических процессов. Кстати, это касается не только силы, но и таких параметров, как давление и потенциал.
ДАВЛЕНИЕ измеряется в Н/м2 или в Дж/м3. Здесь тоже более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает нам на ОБЪЁМНУЮ ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ (Дж/м3).
ПОТЕНЦИАЛ измеряется в м2/с2 или в Дж/кг (для гравитационного поля) и в (кг/Кл)*( м2/с2) или Дж/Кл (для электрического поля). И здесь более приемлемым является второй вариант записи, ибо сразу указывает на значение потенциальной энергии, отнесенной к единице массы (Дж/кг) для гравитационного поля или отнесенной к единице электрического заряда (Дж/Кл) для электрического поля.
И наконец, коллега, давайте рассмотрим, как определяется значение потенциальной энергии.
Пожалуй, теперь мы готовы решать и эту проблему. Значение потенциальной энергии определяется двумя способами:
- упрощенный (приближенный) - для однородного поля;
- общий (истинный) - для неоднородного поля, которое нас реально и окружает.
Потенциальное поле можно условно считать однородным, если вектор напряженности во всех его точках имеет одно и то же значение и направление. К примеру, для гравитационного поля это правило можно применить только у поверхности Земли на небольшом её участке (скажем, в лабораторном опыте). В этом случае для упрощения расчетов значение потенциальной энергии пробного тела на поверхности Земли условно принимается равной нулю, а её значение в любой другой точке определяется из уравнения:
WП = mgh, Дж,
где g - напряженность гравитационного поля (Н/кг), а h - вертикальное расстояние (м) от поверхности Земли до пробного тела массой m (кг).
Здесь знак перед значением потенциальной энергии принципиального значения не имеет.
Коллега, но ведь это и есть наиболее распространенный способ определения потенциальной энергии.
Более того, для математиков он является практически единственным.
Причина в том, что в математике потенциальная энергия определяется через свои производные и в этом случае непосредственный смысл имеет только разность её значений, ибо абсолютное значение потенциальной энергии после интегрирования включает некоторую произвольную постоянную. Поэтому математики выбирают нулевое значение потенциальной энергии произвольно (чаще всего - у поверхности Земли), хотя реально она имеет это значение только на границе поля.
К сожалению, многие учебники физики на этом и завершают определение потенциальной энергии. Но не все. Взять, к примеру, Общий курс физики Сивухина (Москва, МФТИ, 2005) или американский курс Физики в переводе под редакцией Ахматова (Москва, Наука, 1974).
Здесь рассматривается:
- уже известный нам способ определения потенциальной энергии пробного тела в однородном поле тяжести у поверхности Земли (том 1, стр. 144-145 первого источника и часть III, стр.152-157 второго источника);
- и общий способ определения потенциальной энергии для неоднородного поля (том 1, стр. 145-146 первого источника и часть III, стр.157-159 второго источника).
Общий способ расчета дает уже отрицательное значение потенциальной энергии:
- уравнение (25.6) W(U) = - GMm/r в первом источнике и
- уравнение W(Ur) = - GMm/r - во втором.
Отрицательное значение потенциальной энергии здесь объясняется следующим образом:
- в первом источнике (цитата): «Максимальной энергией притягивающиеся массы обладают при бесконечном расстоянии между ними. В этом положении потенциальная энергия считается равной нулю. Во всяком другом положении она меньше, т. е. отрицательна»;
- во втором источнике дано доказательство правильности уравнения W(Ur) = - GMm/r.
И действительно, свободно падающее к центру поля тело увеличивает свою кинетическую энергию, которую приобретает за счёт потенциальной энергии поля. Значит, потенциальная энергия с уменьшением расстояния (r) между центрами масс (M и m) уменьшается и, наоборот, с увеличением расстояния - увеличивается.
Учитывая, что в уже известном нам уравнении WП = - GMm/r символ радиуса находится в знаменателе, то предельно ясно, что с увеличением расстояния (значение радиуса стремится к бесконечности) потенциальная энергия увеличивается до... нуля. Такое возможно только в том случае, если потенциальная энергия во всяком другом положении отрицательна.
Вывод: потенциальная энергия для материальной среды (силового поля) отрицательна.
Отсюда следует, что значение гравитационного потенциала v2 = WП/m = - GM/r тоже отрицательно. И подтверждением этому является уравнение (3) в разделе «Тяготение» (стр. 772) Физического Энциклопедического Словаря или аналогичного раздела Большой Советской Энциклопедии.
Аналогично определяется значение потенциальной энергии и электрического потенциала в электрическом поле. Причем далее мы убедимся в том, что потенциальная энергия и её объёмная плотность (давление) ОДИНАКОВЫ и для гравитационного, и для электрического полей.
Коллега, теперь попробуйте записать Ваше высказывание в виде формулы...
Формулы пишут математики, а физики пользуются уравнениями. Необходимые уравнения здесь уже приводились. Однако попробуем, все же, обойтись пока без них, тем более - без «формул».
Для этого используем бытовые наблюдения, которые подсказывают: чтобы испарить воду, кипящую в чайнике, нужно сжечь некоторое количество дров или газа. Другими словами, нужно совершить работу. С помощью термометра можно убедиться, что температура кипящей воды и температура пара над ней одинаковы. Следовательно, одинакова и средняя энергия движения (кинетическая энергия) частиц в кипящей воде и в паре.
Дополнение: Тем, кто не может проверить это утверждение с помощью термометра, можно открыть раздел «Кипение» в БСЭ (Большая Советская Энциклопедия) и прочесть (даю дословно): «Температура, при которой происходит кипение жидкости, находящейся под постоянным давлением, называется температурой кипения, которая соответствует температуре насыщенного пара (температуре насыщения) над плоской поверхностью кипящей жидкости».
Вывод: тепловая энергия, передаваемая кипящей воде от топлива, преобразуется в энергию взаимодействия (потенциальную энергию) частиц испаряющейся воды. Значит, энергия связи частиц в кипящей воде меньше, чем в водяном паре. Но в паре эта энергия практически равна нулю, следовательно, энергия взаимодействия частиц в жидкости меньше нуля, т.е. отрицательна.
Коллега, Ваши доводы убедительны и примеры Вы приводите неопровержимые. Однако не все думают так же.
И здесь Вы совершенно правы. Для физиков проблем с пониманием сути и знака потенциальной энергии нет, ибо они гравитационное поле, в том числе и поле тяготения Земли, считают НЕОДНОРОДНЫМ. Для физиков напряженность гравитационного поля изменяется с расстоянием в квадрате: g = Gm/r2.
Однако математики так не думают. Для них гравитационное поле является ОДНОРОДНЫМ с неизменной напряженностью гравитационного поля (вроде этот параметр и не зависит от радиуса). Значение потенциальной энергии они определяют по упрощенной формуле W = mgh. Они не связывают h с радиусом поля, а считают его простым отрезком между двумя произвольными точками этого поля. Поэтому для них потенциальная энергия может принимать нулевое значение в любой понравившейся им точке. Нонсенс, но бывает и такое.
Но есть ещё и «физико-математики». Их мнение зависит от того, насколько они физики или математики.
Коллега, почему Вы считаете, что математики «тяготеют» к однородному полю?
В подтверждение этому открываем Краткий курс математического анализа (Бермант, Араманович, 2005) и на стр. 520 в разделе «Теория поля» читаем:
«Векторное поле называется однородным, если А(Р) - постоянный вектор, т.е. Ах, Аy и Az - постоянные величины.
Примером однородного поля может служить, например, поле тяжести».
Теперь и сами видите, что математики гравитационное поле называют «полем тяжести» и «всерьёз» считают его однородным. И это не просто безобидное заблуждение, ибо оно мешает нам осознать Природу гравитации. Однако, об этом мы поговорим немного позже.
На главную