Многоликая термодинамика: равновесная, неравновесная, но дискретная
По просьбе sspr помещаю сразу два раздела из моего доклада "О дискретных моделях физических пространств", доложенного 25 марта 2019 в Институте математики СО РАН.
В этих разделах эмпирическая по сути термодинамика рассматривается с позиций кванта действия как единое целое. Термодинамика становится единой, да ещё и дискретной, какой и должна быть любая современная наука. Заодно обсуждается физический смысл энтропии и температуры - трудно понимаемых величин, представляющих "тёмное" пятно на теле королевы наук - термодинамики, какой считал её Эйнштейн.
ТЕРМОДИНАМИКА ОБЫКНОВЕННАЯ И ДИСКРЕТНАЯ
Краткое обоснование термодинамики начнём с её 4-х известных законов:
0. Каждому равновесному состоянию системы можно сопоставить температуру - некую функцию T(p, V), зависящую от внешних условий p и V.
1. Дифференциальный закон сохранения энергии dU = TdS - pdV.
2. В замкнутой системе энтропия стремится к своему максимальному значению, достигаемому при достижении равновесия. Или: тепло не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому.
4. При стремлении температуры к абсолютному нулю энтропия системы стремится к некоторому пределу (нулю). Или: недостижимость нуля за конечное число циклов.
Начнём с 1-го закона, умножив правую и левую часть уравнения на некую константу времени t0. Получим: d(Ut0) = Td(St0) - (Ft0)dx. В таком виде это будет закон сохранения полного действия в системе. Наибольший интерес представляет первый член в правой части уравнения. Рассмотрим сначала, что такое энтропия S. Часто предполагается, что полное число состояний W в системе равно произведению чисел для всех возможных состояний Wi при каждой энергии Ei, то есть W = ПWi. А энтропия по Больцману S = klnW будет тогда представлять сумму энергий giEi, взятых с весом gi на каждом уровне. Тогда, умноженная на характерное время t0 энтропия будет равна полному числу квантов действия Nh в системе. А обратная температура 1/T будет являться частной производной б(St0)/б(Ut0)|V. Становится понятно, почему абсолютный нуль становится недостижимым, а энтропия в нуле - неопределённой. Каким мудрым, всё-таки, оказался Больцман, более века тому назад предвидя, какое выражение должна иметь энтропия идеального газа!
Другими словами, мы нагреваем систему или совершаем над ней работу всякий раз, когда передаём ей от внешнего источника квант действия h в виде энергии E=h/t0 или импульса p=h/x. Этот квант действия (а потом - и другие) распределяются по многим разным состояниям, составляя некоторую величину для энтропии S = klnW, которая будет увеличиваться с увеличением числа переданных квантов h. Но состояния эти - не различные значения энергии Ei, которые может принимать каждая структурная единица (атом, молекула) в системе, а количество структурных единиц, среди которых распределён квант действия, и которые он объединяет в единое целое. В этом заключается принципиальная разница в описании термодинамических (и других) процессов через переданную энергию и импульс или через кванты действия. Почему квант действия распределяется именно таким образом - подсказывает квантовый эффект Холла, представленный в докладе отдельным разделом, но уже описанный ранее в этом блоге. Таким образом, энтропия - в некотором роде фикция - это распределение квантов действия по разным числам, составленным из структурных единиц системы. Но фикция очень жесткая: она может измениться, только если изменятся сами её носители. Забегая вперёд, скажу, что записывать уравнение переноса энтропии в неравновесных процессах, как это делает Пригожин и другие, - полная ерунда, если этот перенос не обусловлен переносом материальных частиц. Также добавлю, что распределение кванта действия по нескольким частицам, выполняющих здесь роль фермионов, приводит к потере "памяти" у кванта действия - того, кем он был и как был распределён в "предыдущей жизни". С квантами энергии в атомистическом представлении такой номер не проходит: каждый квант передаётся от одной частицы к другой, и тем же путём может быть передан обратно. Таким образом, здесь получает объяснение, с чем связана необратимость процессов, и какую роль в этом играет взаимодействие между собой бозонов и фермионов.
Остаётся пока непонятным вопрос (2-ой закон термодинамики): "Зачем системе нужны всевозможные распределения кванта действия по разным состояниям в системе?" Возможный ответ: "Чтобы в случае вывода системы из равновесия иметь такие начальные условия, какие позволили бы системе максимально быстро вернуться к равновесию". Но такой ответ требует доказательств и рассмотрения неравновесной термодинамики.
А пока рассмотрим примеры критического поведения и дискретности термодинамических процессов: испарение-конденсация, турбулентность, фотоэффект.
Испарение отдельных атомов или молекул твёрдым телом или жидкостью происходит в том случае, когда квант действия перестаёт быть распределённым между многими атомами и принадлежит только ему одному. Для испарения из твёрдой фазы, возможно, требуется два целых кванта. Один - для перехода в "жидкое" состояние, другой - в газообразное. Но при обратном переходе - конденсации могут возникнуть затруднения в том, кому передать лишний квант действия, остающийся при объединении двух атомов (молекул) в одно целое. Так как, обладая двумя квантами вместе, они вынуждены будут распасться обратно. Другое дело - конденсация атома (молекулы) на крупную частицу или массивную поверхность. Переданный квант действия тут же распределяется между многими атомами в массиве, и новое образование станет единым целым. Используемые в теории конденсации понятия "поверхностного натяжения" и "критического размера" теряют свой смысл, когда объекты становятся слишком маленькими.
Турбулентность для изначально ламинарного течения жидкости возникает тогда, когда возбуждение новых квантов действия, возникающих из-за "трения" при относительном движении частиц, не успевает или не может быть распределённым между соседними элементами жидкости. Напомним, что в жидкости элементарным актом возбуждения пространства является вращение группы атомов или молекул. Случай, когда квант вращения принадлежит одному атому или молекуле, является физическим пределом и не может быть превышен. Для реального течения жидкости этот случай соответствует большому градиенту скорости вблизи поверхности или её большой кривизне. Невозможность превысить физический предел приводит к тому, что вновь образованные кванты уходят в область меньших градиентов скорости и там "конденсируются" в большой вихрь. Когда таких вихрей образуется много, и они начинают взаимодействовать друг с другом, или вихрь становится слишком большим и начинает разрушаться, наступает турбулентность. Она становится развитой, когда вихри плотно заполняют всё рассматриваемое пространство. Два принципа, связанные с действием и упомянутые в разделе аксиоматика, здесь играют самую непосредственную роль. Одним принципом является принцип наименьшего действия, знакомый нам по учебникам классической механики, а второй - принцип максимального переноса действия, сформулированный нами специально для неравновесной термодинамики.
Фотоэффект электронов, выбиваемых фотоном с поверхности металлов, можно объяснить и с позиций кванта действия. Для выхода электрона требуется ровно один квант. Но при этом требуется время t0, достаточно короткое, чтобы переданный квант не успел распределиться среди соседей. У фотона характерное время определяется условием t0 = h/E. Поэтому, требуется энергия, больше некоторого предела. Что в действительности и происходит.
НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Рассмотрим некоторые стационарные, но при этом неравновесные течения.
Вихревая нить (Алексеенко С.В., Шторк С.И.); Закрученная струя газа (Маркович Д.М., Дулин В.М.)
Что можно сказать о приведённых картинках? Что общего между ними и, скажем, мясорубкой? Какая мысль должна придти в голову, если допустить квант действия в качестве основного элемента, определяющего структуру течения? Правильно: мы наблюдаем перенос момента импульса или иными словами - интегральный перенос квантов действия. Но почему течение так деформировано, что напоминает шнек мясорубки? Возникает гипотеза: такая форма обеспечивает максимально возможный перенос действия! Возможно, при расчете мы сможем убедиться, что она работает.
Рассмотрим другой - хорошо известный пример ячеек Бенара в подогреваемом снизу слое жидкости.
Естественная конвекция - поразительный пример того, как образуются структуры, обеспечивающие максимальный перенос действия в условиях возрастающего трения при увеличении "теплового напора" в горизонтальном слое. При малом "напоре" - разности температур в слое жидкости - передача тепла обеспечивается обычной молекулярной теплопроводностью. Конвективное течение невыгодно из-за потерь на трение. При некотором критическом напоре возникает конвективный перенос тепла с особым типом ячеек Бенара, в которых потери на трение не превышают "доход" от развитого течения в ячейках. При ещё большем напоре ячейки принимают валикообразную форму, которая при дальнейшем нагреве снизу постепенно разрушается, а всё течение становится турбулентным.
"Классическая неравновесная термодинамика основана на фундаментальном предположении о локальном равновесии". - И. Пригожин, 1947.
За исключением дополнительного принципа наибольшего или максимального переноса действия, мы не вносим в неравновесную термодинамику ничего нового. По-прежнему кванты действия переносятся от одной системы к другой, от одного пространства к другому, превращаясь при переходе из одних элементов в другие. Но вот что главное: термодинамика при этом становится единой и дискретной, температура и энтропия получают свой физический смысл, а необратимость процесса связывается с перераспределением кванта действия по многим элементам и потерей своей "истории".
Старый подход, выраженный словами Пригожина, кажется, исчерпал себя. Понятие локального равновесия используется, чтобы рассматривать систему в условиях, когда в ответ на малые возмущения все процессы релаксации успевают уже произойти. И не мешают рассматривать потоки в качестве первого - градиентного члена разложения в ряд соответствующих термодинамических величин. При этом становится возможной такая абсурдная вещь, как перенос энтропии и даже допускаются её отрицательные значения. А ведь энтропия связана с распределением энергии (или точнее - действия) по возможным состояниям. Локально, в небольшой области покоящейся системы энтропия измениться может, но быть перенесённой может только вместе с материальными частицами, из которых состоит система.
Считается, что образование структур или их самоорганизация в неравновесной термодинамике связана с открытостью системы, то есть - с возможностью уменьшать свою энтропию, отдавая её наружу. Как было сказано выше, это невозможно сделать, не отдавая при этом материальный "носитель" энтропии. В представленном докладе образование структур связано с "работой" принципа наименьшего действия. У Пригожина - с принципом минимума производства энтропии. Его принцип верен только отчасти и может быть применим как локальное условие того, что трение в системе не превышает "выигрыш" системой, связанный с переносом действия.
Искренне Ваш, Дулин Михаил.
В этих разделах эмпирическая по сути термодинамика рассматривается с позиций кванта действия как единое целое. Термодинамика становится единой, да ещё и дискретной, какой и должна быть любая современная наука. Заодно обсуждается физический смысл энтропии и температуры - трудно понимаемых величин, представляющих "тёмное" пятно на теле королевы наук - термодинамики, какой считал её Эйнштейн.
ТЕРМОДИНАМИКА ОБЫКНОВЕННАЯ И ДИСКРЕТНАЯ
Краткое обоснование термодинамики начнём с её 4-х известных законов:
0. Каждому равновесному состоянию системы можно сопоставить температуру - некую функцию T(p, V), зависящую от внешних условий p и V.
1. Дифференциальный закон сохранения энергии dU = TdS - pdV.
2. В замкнутой системе энтропия стремится к своему максимальному значению, достигаемому при достижении равновесия. Или: тепло не может самопроизвольно переходить от менее нагретого тела к более нагретому.
4. При стремлении температуры к абсолютному нулю энтропия системы стремится к некоторому пределу (нулю). Или: недостижимость нуля за конечное число циклов.
Начнём с 1-го закона, умножив правую и левую часть уравнения на некую константу времени t0. Получим: d(Ut0) = Td(St0) - (Ft0)dx. В таком виде это будет закон сохранения полного действия в системе. Наибольший интерес представляет первый член в правой части уравнения. Рассмотрим сначала, что такое энтропия S. Часто предполагается, что полное число состояний W в системе равно произведению чисел для всех возможных состояний Wi при каждой энергии Ei, то есть W = ПWi. А энтропия по Больцману S = klnW будет тогда представлять сумму энергий giEi, взятых с весом gi на каждом уровне. Тогда, умноженная на характерное время t0 энтропия будет равна полному числу квантов действия Nh в системе. А обратная температура 1/T будет являться частной производной б(St0)/б(Ut0)|V. Становится понятно, почему абсолютный нуль становится недостижимым, а энтропия в нуле - неопределённой. Каким мудрым, всё-таки, оказался Больцман, более века тому назад предвидя, какое выражение должна иметь энтропия идеального газа!
Другими словами, мы нагреваем систему или совершаем над ней работу всякий раз, когда передаём ей от внешнего источника квант действия h в виде энергии E=h/t0 или импульса p=h/x. Этот квант действия (а потом - и другие) распределяются по многим разным состояниям, составляя некоторую величину для энтропии S = klnW, которая будет увеличиваться с увеличением числа переданных квантов h. Но состояния эти - не различные значения энергии Ei, которые может принимать каждая структурная единица (атом, молекула) в системе, а количество структурных единиц, среди которых распределён квант действия, и которые он объединяет в единое целое. В этом заключается принципиальная разница в описании термодинамических (и других) процессов через переданную энергию и импульс или через кванты действия. Почему квант действия распределяется именно таким образом - подсказывает квантовый эффект Холла, представленный в докладе отдельным разделом, но уже описанный ранее в этом блоге. Таким образом, энтропия - в некотором роде фикция - это распределение квантов действия по разным числам, составленным из структурных единиц системы. Но фикция очень жесткая: она может измениться, только если изменятся сами её носители. Забегая вперёд, скажу, что записывать уравнение переноса энтропии в неравновесных процессах, как это делает Пригожин и другие, - полная ерунда, если этот перенос не обусловлен переносом материальных частиц. Также добавлю, что распределение кванта действия по нескольким частицам, выполняющих здесь роль фермионов, приводит к потере "памяти" у кванта действия - того, кем он был и как был распределён в "предыдущей жизни". С квантами энергии в атомистическом представлении такой номер не проходит: каждый квант передаётся от одной частицы к другой, и тем же путём может быть передан обратно. Таким образом, здесь получает объяснение, с чем связана необратимость процессов, и какую роль в этом играет взаимодействие между собой бозонов и фермионов.
Остаётся пока непонятным вопрос (2-ой закон термодинамики): "Зачем системе нужны всевозможные распределения кванта действия по разным состояниям в системе?" Возможный ответ: "Чтобы в случае вывода системы из равновесия иметь такие начальные условия, какие позволили бы системе максимально быстро вернуться к равновесию". Но такой ответ требует доказательств и рассмотрения неравновесной термодинамики.
А пока рассмотрим примеры критического поведения и дискретности термодинамических процессов: испарение-конденсация, турбулентность, фотоэффект.
Испарение отдельных атомов или молекул твёрдым телом или жидкостью происходит в том случае, когда квант действия перестаёт быть распределённым между многими атомами и принадлежит только ему одному. Для испарения из твёрдой фазы, возможно, требуется два целых кванта. Один - для перехода в "жидкое" состояние, другой - в газообразное. Но при обратном переходе - конденсации могут возникнуть затруднения в том, кому передать лишний квант действия, остающийся при объединении двух атомов (молекул) в одно целое. Так как, обладая двумя квантами вместе, они вынуждены будут распасться обратно. Другое дело - конденсация атома (молекулы) на крупную частицу или массивную поверхность. Переданный квант действия тут же распределяется между многими атомами в массиве, и новое образование станет единым целым. Используемые в теории конденсации понятия "поверхностного натяжения" и "критического размера" теряют свой смысл, когда объекты становятся слишком маленькими.
Турбулентность для изначально ламинарного течения жидкости возникает тогда, когда возбуждение новых квантов действия, возникающих из-за "трения" при относительном движении частиц, не успевает или не может быть распределённым между соседними элементами жидкости. Напомним, что в жидкости элементарным актом возбуждения пространства является вращение группы атомов или молекул. Случай, когда квант вращения принадлежит одному атому или молекуле, является физическим пределом и не может быть превышен. Для реального течения жидкости этот случай соответствует большому градиенту скорости вблизи поверхности или её большой кривизне. Невозможность превысить физический предел приводит к тому, что вновь образованные кванты уходят в область меньших градиентов скорости и там "конденсируются" в большой вихрь. Когда таких вихрей образуется много, и они начинают взаимодействовать друг с другом, или вихрь становится слишком большим и начинает разрушаться, наступает турбулентность. Она становится развитой, когда вихри плотно заполняют всё рассматриваемое пространство. Два принципа, связанные с действием и упомянутые в разделе аксиоматика, здесь играют самую непосредственную роль. Одним принципом является принцип наименьшего действия, знакомый нам по учебникам классической механики, а второй - принцип максимального переноса действия, сформулированный нами специально для неравновесной термодинамики.
Фотоэффект электронов, выбиваемых фотоном с поверхности металлов, можно объяснить и с позиций кванта действия. Для выхода электрона требуется ровно один квант. Но при этом требуется время t0, достаточно короткое, чтобы переданный квант не успел распределиться среди соседей. У фотона характерное время определяется условием t0 = h/E. Поэтому, требуется энергия, больше некоторого предела. Что в действительности и происходит.
НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Рассмотрим некоторые стационарные, но при этом неравновесные течения.
Вихревая нить (Алексеенко С.В., Шторк С.И.); Закрученная струя газа (Маркович Д.М., Дулин В.М.)
Что можно сказать о приведённых картинках? Что общего между ними и, скажем, мясорубкой? Какая мысль должна придти в голову, если допустить квант действия в качестве основного элемента, определяющего структуру течения? Правильно: мы наблюдаем перенос момента импульса или иными словами - интегральный перенос квантов действия. Но почему течение так деформировано, что напоминает шнек мясорубки? Возникает гипотеза: такая форма обеспечивает максимально возможный перенос действия! Возможно, при расчете мы сможем убедиться, что она работает.
Рассмотрим другой - хорошо известный пример ячеек Бенара в подогреваемом снизу слое жидкости.
Естественная конвекция - поразительный пример того, как образуются структуры, обеспечивающие максимальный перенос действия в условиях возрастающего трения при увеличении "теплового напора" в горизонтальном слое. При малом "напоре" - разности температур в слое жидкости - передача тепла обеспечивается обычной молекулярной теплопроводностью. Конвективное течение невыгодно из-за потерь на трение. При некотором критическом напоре возникает конвективный перенос тепла с особым типом ячеек Бенара, в которых потери на трение не превышают "доход" от развитого течения в ячейках. При ещё большем напоре ячейки принимают валикообразную форму, которая при дальнейшем нагреве снизу постепенно разрушается, а всё течение становится турбулентным.
"Классическая неравновесная термодинамика основана на фундаментальном предположении о локальном равновесии". - И. Пригожин, 1947.
За исключением дополнительного принципа наибольшего или максимального переноса действия, мы не вносим в неравновесную термодинамику ничего нового. По-прежнему кванты действия переносятся от одной системы к другой, от одного пространства к другому, превращаясь при переходе из одних элементов в другие. Но вот что главное: термодинамика при этом становится единой и дискретной, температура и энтропия получают свой физический смысл, а необратимость процесса связывается с перераспределением кванта действия по многим элементам и потерей своей "истории".
Старый подход, выраженный словами Пригожина, кажется, исчерпал себя. Понятие локального равновесия используется, чтобы рассматривать систему в условиях, когда в ответ на малые возмущения все процессы релаксации успевают уже произойти. И не мешают рассматривать потоки в качестве первого - градиентного члена разложения в ряд соответствующих термодинамических величин. При этом становится возможной такая абсурдная вещь, как перенос энтропии и даже допускаются её отрицательные значения. А ведь энтропия связана с распределением энергии (или точнее - действия) по возможным состояниям. Локально, в небольшой области покоящейся системы энтропия измениться может, но быть перенесённой может только вместе с материальными частицами, из которых состоит система.
Считается, что образование структур или их самоорганизация в неравновесной термодинамике связана с открытостью системы, то есть - с возможностью уменьшать свою энтропию, отдавая её наружу. Как было сказано выше, это невозможно сделать, не отдавая при этом материальный "носитель" энтропии. В представленном докладе образование структур связано с "работой" принципа наименьшего действия. У Пригожина - с принципом минимума производства энтропии. Его принцип верен только отчасти и может быть применим как локальное условие того, что трение в системе не превышает "выигрыш" системой, связанный с переносом действия.
Искренне Ваш, Дулин Михаил.