По линку разумное обсуждение. Включая Ваш коммент. У автора обычная аберрация близости - каждому кажется, что его область "в последние 40 лет переживает период бурного расцвета" (когда-то меня раздражали такие фразы в предисловиях, потом я перестал обращать на них внимание - но все же лучше, если такой фразы нет), или даже что она преобразила весь предмет.
Я думаю, что Виттену все-таки есть место в этом мире, как бы не называть то, чем он занимается. Тут какой-то организационно-терминологический парадокс: его деятельность выглядит более важной для математики, чем для физики, но классифицируется как физика. А Эйнштейн работал в School of Mathematics IAS. Симметрия восстановлена.
Я никоим образом не сомневаюсь, что Виттену есть место в этом мире, и, вероятно, это место существенно важнее, чем мое. Этот род деятельности, несомненно, наука (по крайней мере, в смысле scholarship - как и математика, как и философия, как и естествознание, как и лингвистика...). Но не следует называть физикой то, что вообще не является естествознанием. Мы много раз с Вами это обсуждали, математикой Вы это считать тоже не согласны. Пусть называется как-то еще.
Естественно, я тоже пристрастен. Есть "теоретики для теоретиков" и "теоретики для экспериментаторов". Мне кажется, вторых (т.е., нас) сейчас становится все меньше, а первых все больше. Пытаюсь в меру своих, почти несуществующих, возможностей способствовать восстановлению баланса.
Если эта деятельность выживет лет 100-200, она, наверное, приобретет адекватное название. Это действительно не вполне science, но я бы не сводил ее к уровню scholarship. Математика - не вполне наука, философия - на полпути от науки к религии, согласно Расселлу.
Хорошее описание этой деятельности есть в интервью Манина Троицкому Варианту 13N. Он относится к ней более чем восторженно, но при этом складывается такая картина: в основе этой деятельности лежит не "физичекая интуиция", а "интуиция фейнмановских интегралов"; результатом являются математические идеи, обычно довольно быстро доводимые до математических стандартов. Сам интеграл Фейнмана упорно не доводится, мешая превратить эту деятельность в просто математику. Мне кажется сомнительным, что деятельность, основанная на одном приеме, и, в сущности, определяемая как его применение, может существовать долго.
Это ужасно интересно -- до какой степени эта деятельность есть продолжение физики и до какой -- просто возня с функциональным интегралом. Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом? С другой стороны, если такой процесс производства математических идей упирается в фигуру Виттена, то нет ничего особенно удивительного, если один человек, пусть даже и выдающийся, построил свою карьеру на одном приеме. Который прием он освоил лучше всех остальных, и из которого он сам же и извлечет в основном все, что можно из него извлечь. Деятельность же в целом может быть при этом гораздо шире.
Это действительно интересно. Мне кажется, что только возня с интегралом Фейнмана. Реально, все интересное идет от Виттена, и это один этот прием. Конечно, мне не следует делать слишком категорические утверждения, я недостаточно хорошо знаю предмет. Но Манин, несомненно, знает очень хорошо.
"Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом?"
Возможно, проблема в коммуникации. Нет изложения, доступного математикам. Математик может жить без конструкции интеграла Фейнмана, если ему четко скажут, как с ним обращаться.
Другой вариант - никакого интеграла Фейнмана в природе нет, есть несколько разрозненных приемов его вычисления, и все аналогичные приемы скоро будут исчерпаны.
Еще один вариант состоит в том, что фейнмановский интеграл имеет смысл, но не как величина, сопоставляемая формуле, которая выписывается как его подынтегральное выражение, а как величина, сопоставляемая некой гораздо более богатой информации, с которой ассоциируется в сознании физика эта формула, но которую он формализовать не может.
Вероято, так и есть. Отсюда и проблема коммуникации. С другой стороны, это просто другой (лучше, чем мой) способ сказать, что интеграла Фейнмана нет - есть разные ситуации, с разной скрытой физической информацией, которые в силу исторических обстоятельств доходят до нас (математиков) в этой упаковке.
Ну, Виттен -- далеко не единственный. Из тех, у кого всерьез получается делать математические предсказания. Выросло новое поколение полуфизиков-полуматематиков, Капустин, например. Про манипулирование с оным интегралом. Я думаю, пока что всё упирается в то, что в математике плохо разработана бесконечномерная геометрия, функциональный интеграл -- это подлежащая комбинаторика. Как мы с тобой уже обсуждали -- бесконечномерных пространств без структуры не сусществует. Соответственно, я бы ожидал, что Фейнмановский интеграл формализуется в тот момент, когда геометрия (а не топология) пространств путей и петель, да и вообще отображений, алгебраизуется в достаточной степени. Пока что, насколько я понимаю, даже в самых простых примерах (алгебро-геометрические аналоги пространства петель со значением в аффинном многообразии), геометрии, то есть теории пучков и пр., практически нет, то, что есть у Дениса в частных случаях -- это искусственные конструкции, использующие комплексню кривую, куда вложена окружность. А 20 лет назад не было и этого, и
( ... )
Я, безусловно, имею довольно смутное представление о том, как работают математики. Но, насколько понимаю, длительные безуспешные попытки доказать какое-то утверждение и придать ему более строгий статус могут быть очень плодотворными. Нет ли каких-то глубоких математических причин, по которым фейнмановский интеграл упорно не доводится до математических стандартов?
Эйлер обращался с расходящимися рядами как повар с картошкой и не заботился о строгих определениях производной и интеграла (как понимаю, тогда сами стандарты строгости были совершенно другими). Потом во всем навели относительный порядок. Результат - более глубокое понимание анализа. Люди пытались доказать постулат о параллельных, потом поняли, что он независим от остальных. Результат - более глубокое понимание геометрии.
А были случаи, когда некий прием, пусть даже как личный прием великого человека, работал десятилетиями, наводя на новые осмысленные идеи, но в нормальную математику его включить так и не удалось?
Безуспешные попытки, в течение сотен лет, доказать некое утверждения бывали плодотворны. А вот наведение строгости - вряд ли есть такие примеры. Когда начинает ощущаться потребность в строгости, она сравнительно быстро наводится. Скажем, строгость в анализе появилась из-за нужд теории рядов Фурье. Причем результат - не радикально новые идеи, а аккуратная запись старых (теория вещественных чисел, окончательно оформившая "строгий" анализ - это не более чем вариант древнегреческой теории пропорций
( ... )
Тогда, мне кажется, вопрос такой - являются ли размышления о том, чего не хватает в интуитивном физическом определении фейнмановского интеграла, плодотворным для математики? Единого определения суммы расходящегося ряда нет, но есть ведь достаточно богатая наука вокруг разных способов такого определения? Скажем, в физике часто используется суммирование по Борелю (поэтому я про него и знаю, даже сам пользовался однажды). Возможна ли в принципе такая же математическая надстройка над path integrals? Если да, тогда, казалось бы, это - раздел математики, только незавершенный. Математика в процессе становления. Нет?
Мне очень понравилась эта формулировка posic выше. Я думаю, что эта более богатая информация каждый раз своя. А интеграл Фейнмана, красивая формула, ее маскирует
( ... )
Да, про дзета-функцию я знаю. И даже про L-функции слышал. Если продолжить аналогию, это означает, что существует другой математический объект (или класс объектов), несовершенным выражением которого являются нынешние фейнмановские интегралы. Являются ли размышления в этом направлении интересным и перспективным математическим занятием или нет? Мой вопрос был об этом. Сразу скажу - ответа на вопрос, являются ли они интересным и перспективным занятием для физики, я не знаю.
Математика (чистая), в определенном смысле, неактуальная наука. Ни в каком смысле, кроме карьерного для данного человека, неважно, когда решат ту или иную задачу. Поэтому если есть потециально интересный повод для размышлений, то почему бы и не поразмышлять? В худшем случае ничего не получится, но так это обычное состояние математика - задача не получается
( ... )
Я думаю, что Виттену все-таки есть место в этом мире, как бы не называть то, чем он занимается. Тут какой-то организационно-терминологический парадокс: его деятельность выглядит более важной для математики, чем для физики, но классифицируется как физика. А Эйнштейн работал в School of Mathematics IAS. Симметрия восстановлена.
Reply
Естественно, я тоже пристрастен. Есть "теоретики для теоретиков" и "теоретики для экспериментаторов". Мне кажется, вторых (т.е., нас) сейчас становится все меньше, а первых все больше. Пытаюсь в меру своих, почти несуществующих, возможностей способствовать восстановлению баланса.
Reply
Хорошее описание этой деятельности есть в интервью Манина Троицкому Варианту 13N. Он относится к ней более чем восторженно, но при этом складывается такая картина: в основе этой деятельности лежит не "физичекая интуиция", а "интуиция фейнмановских интегралов"; результатом являются математические идеи, обычно довольно быстро доводимые до математических стандартов. Сам интеграл Фейнмана упорно не доводится, мешая превратить эту деятельность в просто математику. Мне кажется сомнительным, что деятельность, основанная на одном приеме, и, в сущности, определяемая как его применение, может существовать долго.
Reply
Reply
"Например, если дело сводится к тому, что пользуясь идеей функционального интеграла, можно получать математически осмысленные выводы и верные гипотезы, то почему эту деятельность до сих пор не освоили люди с чисто математическим бекграундом?"
Возможно, проблема в коммуникации. Нет изложения, доступного математикам. Математик может жить без конструкции интеграла Фейнмана, если ему четко скажут, как с ним обращаться.
Другой вариант - никакого интеграла Фейнмана в природе нет, есть несколько разрозненных приемов его вычисления, и все аналогичные приемы скоро будут исчерпаны.
Reply
Reply
Reply
Reply
Эйлер обращался с расходящимися рядами как повар с картошкой и не заботился о строгих определениях производной и интеграла (как понимаю, тогда сами стандарты строгости были совершенно другими). Потом во всем навели относительный порядок. Результат - более глубокое понимание анализа. Люди пытались доказать постулат о параллельных, потом поняли, что он независим от остальных. Результат - более глубокое понимание геометрии.
А были случаи, когда некий прием, пусть даже как личный прием великого человека, работал десятилетиями, наводя на новые осмысленные идеи, но в нормальную математику его включить так и не удалось?
Reply
Reply
Reply
Мне очень понравилась эта формулировка posic выше. Я думаю, что эта более богатая информация каждый раз своя. А интеграл Фейнмана, красивая формула, ее маскирует ( ... )
Reply
Reply
Reply
Leave a comment