Континуум-гипотеза и теория операторов
В теории операторов и теории C*-алгебр есть замечательный объект - алгебра Калкина (Calkin algebra). Определяется она совсем просто. Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство (над комплескными числами), B(H) - алгебра ограниченных операторов в H (умножение - композиция операторов), K(H) - (замкнутый) идеал компактных операторов. Алгебра Калкина C(H) - это просто факторалгебра B(H)/K(H). Она наследует из B(H) структуру банахова пространства (норма в B(H) - это норма оператора) и операцию u -> u* перехода к сопряженному оператору (поскольку оператор, сопряженный к компактному, компактен). Все эти операции естественным образом согласованны (например, норма uu* равна квадрату нормы u - это ключевая аксиома, связывающая норму с умножением). Это означает, что C(H) имеет естественную структуру C*-алгебры. Изучение C(H) - это, более-менее, изучение ограниченных операторов по модулю компактных - классическая задача, восходящая, видимо, к Герману Вейлю. Алгебра Калкина появляется естественным образом в теории индекса и в аналитической К-теории.
Как и для любой алгебры, для алгебры Калкина естественно задать вопрос о ее автоморфизмах. Сразу видно, что она (как и любая C*-алгебра) допускает внутренние автоморфизмы, т.е. автоморфизмы вида x -> uxu*, где u - элемент алгебры, такой что uu*=u*u=1 (по аналогии с элементами алгебры B(H), удовлетворяющими этому тождеству, такие элементы называются унитарными). Есть ли другие авторморфизмы?
Недавние результаты показывают, что ответ на этот вопрос зависит от справедливости континуум-гипотезы. Именно, если континуум-гипотеза верна, то есть другие автоморфизмы (их называют внешними). Более того, их очень много, как минимум 2 в степени алеф_1. Если же принять некоторые аксиомы, совместимые с теорией множеств Цемело-Френкеля, но противоречащие континуум-гипотезе, то можно доказать, что все автоморфизмы алгебры Калкина - внутренние.
Как мне кажется, этот результат о независимости гораздо ближе к mainstream mathemathics, чем другие. Алгебра Калкина - фундаментальный объект теории операторов, и вопрос об автоморфизмах кажется очень естественным. На самом деле, не все так просто (или так страшно). Алгебру Калкина можно рассматривать как некоммутативный (квантовый) аналог короны Стоун-Чеховской компактификации натуральных чисел с дискретной топологией (корона - это просто то, что добавляется к пространству в компактификации). А это уже весьма экзотический объект, простые математики с такими штуками не работают. Про такие штуки не следует задавать «неправильные» вопросы.
Может случиться и так, что приходящая из теории операторов интуиция поможет доказать или опровегнуть континуум-гипотезу.
Ссылки:
N. Christopher Phillips, Nik Weaver, The Calkin algebra has outer automorphisms;
I. Farah, All automorphisms of the Calkin algebra are inner (PDF file).