Перепутанность квантовых полей I. Две частицы или пара
В одной работе мимоходом, как общеизвестное, прозвучало “максимально запутанное состояние
, неперепутанное состояние -
“, где
- одночастичная энтропия Неймана. Перепутанность - характеристика тонкая, никакого масштаба с ней связать всерьез невозможно, однако, будучи воспитанным в духе сказанного пророками “да будет энтропия чистого состояния равна 0″, спокойно принять
не могу.
Ноги у blasphemy, оказалось, растут из серии работ [1-3]. Мотив размышлений в этих работах сводится к тому, что когда мы имеем дело с неразличимыми частицами, то наблюдение за одной фактически есть наблюдение за всеми. На этом пути они, в частности, получают парадоксальный с традиционной точки зрения результат - хотя состояния неразличимых частиц получаются симметризацией прямых произведений индивидуальных состояний, однако, результирующие состояния не являются перепутанными.
Работы для чтения нелегки. Отчасти за это ответственна сама перепутанность, чей физический смысл далек от ясности, отчасти же дело в самом представлении о неразличимости частиц, которое есть не следствие квантовости, а условие, добавляемое к ней.
В стандартных изложениях перепутанность появляется как специфическое формальное свойство многочастичных состояний. Формальность и специфичность заключаются в том, что перепутанность проявляется когда речь ведется в конкретном базисе. Разъяснение выглядит так. Пусть у нас есть две частицы
и
, которые описываются наборами состояний
и
(все гильбертовы пространства предполагаются конечномерными). Состояние пары частиц задается тогда суперпозицией прямых произведений
.
Если ранг матрицы
(или число Шмидта, как он называется в этой науке) равен
, то говорят, что состояние
неперепутанно и т.д. В [1] вокруг этого накручивается объемная формалистика (формулируется и доказывается ряд теорем) с простым мотивом. Амплитуды
можно связать с отображением
из пространства состояний одной частицы в пространство состояний другой с матричными элементами, скажем
.
Тогда ранг заменяется размерностью образов и если образы одномерны, то состояние неперепутанно. Интересно такое положение вещей тем, что в случае неперепутанного состояния мы можем представить состояние пары частиц в виде прямого произведения неких состояний частиц
и
:
и наоборот - если состояние перепутанно, то такое представление в виде прямого произведения невозможно и говорят, что состояние нефакторизуемо. Качественно это означает, что состояние пары частиц представляет собой новую сущность - “пара частиц”, а не просто две частицы.
[1] G. Ghirardi et al, J. Stat. Phys. 108, 49 (2002).
[2] G. Ghirardi et al, Fortschr. Phys. 51, 379 (2003).
[3] G. Ghirardi et al, Phys. Rev. A 70, 012109 (2004).