Comments | sfedu_ctseminar: Каждая стрелка из суммы это сумма стрелок?

ulysses4ever in sfedu_ctseminar

Каждая стрелка из суммы это сумма стрелок?

Apr 13, 2009 01:03

На такое утверждение опирается одна работа, которую сейчас разбираю. Мне оно не очевидно. Очевидно другое, что для каждой пары стрелок (с общим кодоменом) из слагаемых есть стрелка из суммы и её можно как раз считать суммой стрелок - это по определению. Фактически, тут утверждается и обратное.

Символически. Пусть есть A, B, A+B, X - обекты в C. ( Read more... )

quiz

Comments 4

ext_179323 April 13 2009, 03:50:49 UTC

Вопрос очень правильный, и, наверное, на нем следовало акцентироваться еще при определении произведения/копроизведения. Ответ - да. Причем это будет, как Вы вероятно уже заподозрили, биекция.

Помножим f: A+B → X на i_1: A → A+B, ... (похоже?)

На самом деле определение произведения/копроизведения через универсальную стрелку начинается с введения второго отображения из поста :) - умножения стрелки в/из универсального объекта на компоненты универсального конуса/коконуса, а уже дальше утверждается существование первого, которое строит "существующий и единственный..." морфизм, достраивающий диаграмму до коммутативной.

ulysses4ever April 13 2009, 04:10:54 UTC

А, действительно, спасибо!

ext_179323 April 13 2009, 06:15:49 UTC

Здесь, во-первых, проявляется такой метод проверки (и нахождения) доказательств - диаграммный поиск. Если какого-то морфизма нам не хватает, мы смотрим, их каких имеющихся его можно получить путем композиции. Обычно перебор очень небольшой - стрелочки хорошо типизированы. Если такого способа не нашлось - значит, и морфизма нет (либо мы плохо поставили задачу - нарисовали не все стрелочки).

Во-вторых, тот поиск, который происходит в данном случае, - он повторяется во всех определениях, построенных вокруг понятия "универсального объекта". В любых их вариантах у нас будут неожиданно, "волшебным образом" появляться те же самые биекции между множествами морфизмов. Потому другой способ определения, - через сопряженные функторы (на семинаре его должны были затронуть), - в чем-то лучше: он позволяет ответить на все аналогичные вопросы раз и навсегда, после чего они перестают быть неожиданными.

Наверное, это заслуживает отдельного поста; попробую написать.

ulysses4ever April 13 2009, 06:19:07 UTC

> Наверное, это заслуживает отдельного поста; попробую написать.
О, здорово! Будет интересно почитать. Хотя мысль, в общем, вроде бы ясна.