Математика как естественная наука 2
Дискуссия с А. Болдачевым (см. семьдесят унылых реплик к предыдущей заметке), как и все предыдущие дискуссии с моим трудолюбивым критиком, завершилась интеллигентным эквивалентом грубости, без какого бы то ни было сближения позиций. Но время и букофки были потрачены совершенно не напрасно (не напрасно для меня, насчёт моего уважаемого оппонента я не уверен), ибо родился новый аргумент в пользу наличия у математики собственной эмпирической реальности. Это такой своего рода argumentum ad hominem, хотя и не в том смысле, в котором это выражение обычно употребляют; аргумент к человеку, тому самому человеку, который занимается математикой.
Я отталкивался от неприемлемого для меня тезиса А. Болдачева "для признания истинности математической системы достаточно утверждения ее логической истинности ... Если некая математическая модель не описывает треугольник, это не значит, что она не математическая - просто она описывает нечто другое (и далее) В отличие от науки в математике не может быть (непротиворечивой) теории ни о чем".
Обратимся, однако, к самой-самой фундаментальной математике, для которой нет и не предвидится в ближайшее время прикладных применений (примеров много, думаю, не ошибусь, приводя в качестве примера классификацию четырехмерных многообразий, за которую недавно давали премию Филдса или К-теорию Милнора (полей)). Математика совершенно определенно не стремится к генерации всех возможных непротиворечивых аксиоматических теорий и всех возможных истинных утверждений в этих теориях. Несмотря на отсутствие прикладного "заказа", математики практически не спорят по поводу того, является ли математический формальный (т.е. теоретический) объект важным или маловажным для изучения. Есть, конечно, печальные исключения, некоторые многообещающие объекты, на которые отчего-то махнули рукой и не изучают - но это именно исключения. Мой оппонент здесь упрекает меня в подмене проблемы: я-де путаю ценность рассуждения и истинность. Но здесь А. Болдачев вертится в порочном кругу: он уже определился с тем, что следует считать истинностью математического суждения, относя её только к непротиворечивости, и исходит в своей риторике из этого определения (а я именно на эту дефиницию и нападаю).
Это простейшее наблюдение касательно различной ценности разных математических теорий я склонен объяснять наличием объективной математической реальности (ибо в коллективный сговор и торжество конвенционализма я не верую). Реальность эта может быть описана аксиоматическими системами (лишь худо-бедно: см. теорему Левенхайма-Сколема), непротиворечивость которых А. Болдачев ошибочно называет "логической" истинностью. На самом деле это не истинность, а лишь внутренняя консистентность моделей (математические теории суть модели математической реальности, тонких идеальных структур мироздания). Прикосновение, интуитивное чувство этой математической реальности есть эмпирическая деятельность; она относится к незашумлённым, не тронутым бренностью и тлением слоям мироздания и поэтому почти всегда безошибочна - но есть исключения, проявляющиеся в отсутствии консенсуса, к примеру, по аксиоме выбора Цермело.
Факт в том, что формализм математики безотносительно этой реальности никому не интересен, ибо математическая истина не в непротиворечивости, а в близости к подлинным, независимо от нашей воли прошитым в общую единую ткань мира и рассудка фундаментальным математическим объектам. Дяденька Гегель, я был неправ, я во всём раскаиваюсь, прими меня назад в панлогисты.
В качестве прекрасного примера взаимоотношений математической теории и математической эмпирики можно привести комплексные числа, теоретические объекты, в "реальности" которых не сомневались великие алгебраисты прошлого, хотя адекватный язык для их описания появился только вместе с теорией алгебраических расширений. До этого были несколько неадекватных языков, причем все они были плохо между собой совместимы. Как мы видим, математический объект первичен, а теории могут быть разные. Интересно, как А. Болдачев, сводящий всю математику к формальным символьным теориям, объяснит наличие нескольких разных теорий одного математического объекта? Разные теории комплексных чисел, разные теории множеств... Объяснит как-нибудь, я верю. Но не верю, что объяснения будут отражать реальные научные практики.
Другой, тоже замечательный пример - обобщенные функции. Их придумал гений физики П. Дирак для своих физических нужд. При этом он совершенно не умел формализовать этот объект (и не очень интересовался формализацией). Обобщённые функции - это толком и не функции даже, потому что в самых своих интересных точках они не принимают никаких значений. Дельта-функция Дирака равна нулю всюду кроме одной точки (где ее значение бесконечно), при этом определенный интеграл по всей прямой у этой функции равен единице. ДИЧЬ, в ньютоновской математике так не бывает. Но Дирак, даром что был физик, прекрасно чувствовал математическую реальность - и даже обходился без формального аппарата. Этот аппарат построили позднее. С точки зрения А. Болдачева, математика обобщенных функций появилась только с появлением аксиоматики этих функций. Но, о чудо, математика была и до этого! Просто она у Дирака была этакой древнеегипетской, без формализма (у древних египтян математика была не просто эмпирической, а самой настоящей экспериментальной наукой без страха и упрёка).
Итак, математическая реальность проявляет себя в выборе математиками некоторых немногих непротиворечивых формальных теорий и отбраковывании всех прочих. Этот выбор является деятельностью, которую я склонен назвать эмпирической (добывающей знание непосредственно из объективной реальности), хотя и идеальной (имеющей дело не с протяженными вещами, а с идеями разной степени формализуемости). Мне кажется, что этот "человеческий" аргумент, хотя и содержит в себе толику психологизма и субъективизма, имеет свою ценность и даже пикантность. И уж во всяком случае он не требует знания теоремы Левенхайма-Сколема, каковая точно не относится числу простых для понимания вещей.
Я отталкивался от неприемлемого для меня тезиса А. Болдачева "для признания истинности математической системы достаточно утверждения ее логической истинности ... Если некая математическая модель не описывает треугольник, это не значит, что она не математическая - просто она описывает нечто другое (и далее) В отличие от науки в математике не может быть (непротиворечивой) теории ни о чем".
Обратимся, однако, к самой-самой фундаментальной математике, для которой нет и не предвидится в ближайшее время прикладных применений (примеров много, думаю, не ошибусь, приводя в качестве примера классификацию четырехмерных многообразий, за которую недавно давали премию Филдса или К-теорию Милнора (полей)). Математика совершенно определенно не стремится к генерации всех возможных непротиворечивых аксиоматических теорий и всех возможных истинных утверждений в этих теориях. Несмотря на отсутствие прикладного "заказа", математики практически не спорят по поводу того, является ли математический формальный (т.е. теоретический) объект важным или маловажным для изучения. Есть, конечно, печальные исключения, некоторые многообещающие объекты, на которые отчего-то махнули рукой и не изучают - но это именно исключения. Мой оппонент здесь упрекает меня в подмене проблемы: я-де путаю ценность рассуждения и истинность. Но здесь А. Болдачев вертится в порочном кругу: он уже определился с тем, что следует считать истинностью математического суждения, относя её только к непротиворечивости, и исходит в своей риторике из этого определения (а я именно на эту дефиницию и нападаю).
Это простейшее наблюдение касательно различной ценности разных математических теорий я склонен объяснять наличием объективной математической реальности (ибо в коллективный сговор и торжество конвенционализма я не верую). Реальность эта может быть описана аксиоматическими системами (лишь худо-бедно: см. теорему Левенхайма-Сколема), непротиворечивость которых А. Болдачев ошибочно называет "логической" истинностью. На самом деле это не истинность, а лишь внутренняя консистентность моделей (математические теории суть модели математической реальности, тонких идеальных структур мироздания). Прикосновение, интуитивное чувство этой математической реальности есть эмпирическая деятельность; она относится к незашумлённым, не тронутым бренностью и тлением слоям мироздания и поэтому почти всегда безошибочна - но есть исключения, проявляющиеся в отсутствии консенсуса, к примеру, по аксиоме выбора Цермело.
Факт в том, что формализм математики безотносительно этой реальности никому не интересен, ибо математическая истина не в непротиворечивости, а в близости к подлинным, независимо от нашей воли прошитым в общую единую ткань мира и рассудка фундаментальным математическим объектам. Дяденька Гегель, я был неправ, я во всём раскаиваюсь, прими меня назад в панлогисты.
В качестве прекрасного примера взаимоотношений математической теории и математической эмпирики можно привести комплексные числа, теоретические объекты, в "реальности" которых не сомневались великие алгебраисты прошлого, хотя адекватный язык для их описания появился только вместе с теорией алгебраических расширений. До этого были несколько неадекватных языков, причем все они были плохо между собой совместимы. Как мы видим, математический объект первичен, а теории могут быть разные. Интересно, как А. Болдачев, сводящий всю математику к формальным символьным теориям, объяснит наличие нескольких разных теорий одного математического объекта? Разные теории комплексных чисел, разные теории множеств... Объяснит как-нибудь, я верю. Но не верю, что объяснения будут отражать реальные научные практики.
Другой, тоже замечательный пример - обобщенные функции. Их придумал гений физики П. Дирак для своих физических нужд. При этом он совершенно не умел формализовать этот объект (и не очень интересовался формализацией). Обобщённые функции - это толком и не функции даже, потому что в самых своих интересных точках они не принимают никаких значений. Дельта-функция Дирака равна нулю всюду кроме одной точки (где ее значение бесконечно), при этом определенный интеграл по всей прямой у этой функции равен единице. ДИЧЬ, в ньютоновской математике так не бывает. Но Дирак, даром что был физик, прекрасно чувствовал математическую реальность - и даже обходился без формального аппарата. Этот аппарат построили позднее. С точки зрения А. Болдачева, математика обобщенных функций появилась только с появлением аксиоматики этих функций. Но, о чудо, математика была и до этого! Просто она у Дирака была этакой древнеегипетской, без формализма (у древних египтян математика была не просто эмпирической, а самой настоящей экспериментальной наукой без страха и упрёка).
Итак, математическая реальность проявляет себя в выборе математиками некоторых немногих непротиворечивых формальных теорий и отбраковывании всех прочих. Этот выбор является деятельностью, которую я склонен назвать эмпирической (добывающей знание непосредственно из объективной реальности), хотя и идеальной (имеющей дело не с протяженными вещами, а с идеями разной степени формализуемости). Мне кажется, что этот "человеческий" аргумент, хотя и содержит в себе толику психологизма и субъективизма, имеет свою ценность и даже пикантность. И уж во всяком случае он не требует знания теоремы Левенхайма-Сколема, каковая точно не относится числу простых для понимания вещей.