Математика как естественная наука
Это будет немного скуШная заметка, зато с разоблачением ужасного всемирного заговора. Для тех, кто дотерпит до конца.
Теорема Левенгейма-Сколема - один из щелчков по носу, который Создатель припас для оптимистов-рационалистов. Это "отрезвляющий" результат из области математической логики (наряду с теоремами Гёделя), ставящий определённый предел возможностям формализованного рассудка. Согласно теореме, всякая выполнимая (т.е. такая, которая реализуется хоть одной моделью) теория первого порядка со счётной базой имеет и счетную модель (в добавок к той, которая есть по определению выполнимости). Само по себе это не очень страшно, неприятным является применение этой теоремы к аксиоматике Цермело-Френкеля теории множеств. Эта теория как раз первого порядка (кванторы связывают только атомы и не связывают предикаты), выполнимая (ибо "обычные" математические множества как раз являются "намеренной" моделью этой теории) и, следовательно, есть у неё не более чем счетная модель, элементы которой "по всем параметрам" ведут себя как математические множества. За исключением того, что их не более чем счетное число (не больше, чем натуральных чисел - и меньше, чем чисел вещественных, таких как пи или корень из двух)1.
Я причинил вам боль, мои дамы и господа? Но ведь это лучше, чем писать про пуссирайот, правда?
Теорема Левенгейма-Сколема рвёт шаблон тем, что показывает, насколько те аксиоматические, формальные построения, которыми математик оперирует, доказывая свои профильные теоремы и решая задачи, не соответствуют "настоящей математической реальности". И, о чудо, начинает просматриваться, проступать эта самая реальность! "Настоящие множества", отличные от тех, которые мы препарируем с помощью аксиоматики Цермело-Френкеля, бывают несчетными, таким образом и самих их несчетная прорва-прорвущая. Мы ни за что не спутаем их с элементами той самой суррогатной, "ненамеренной" счётной модели, существование которой гарантируют Сколем и названный братец его Левенхайм.
Как работает математика? Она работает вот как. Сначала математик-творец абстракций придумывает новый математический объект, будь то модуль над полупростым кольцом или алгебру Ли. И это - акт чудотворный, ибо здесь математик ещё имеет дело с настоящей математической реальностью. Но сделать с этой реальностью ничего нельзя, ибо нечем и никак. И тогда математик переходит от этой реальности к формальным определениям (алгеброй Ли называем бла-бла-бла, удовлетворяющее бла-бла-бла, перечисляет несколько условий). В большинстве случаев эта операция позволяет удерживать перед мысленным взором исходный объект, щупать его лучом интуиции, переводя свои прозрения на язык формального вывода следствий из аксиом, а они, в свою очередь, подсобляют процессу, математик задействует вычислительную мощь аксиоматического аппарата, временами осуществляет логический вывод согласно формальным правилам, уже погасив за ненадобностью интуицию. И возникает даже иллюзия того, что, работая с логической теорией, математик работает с самим своим объектом. Но это не так, и спасибо Сколему, что прояснил. Очень полезно знать, что ежовые рукавицы аксиоматики схватывают математический объект не плотно, с зазорами. Не могут ухватить только ту теорию множеств, которую мы знаем интуитивно, ухватывают вместе с ней "мусор": ненамеренные модели, в том числе и ту дикую, невозможную, счётную, которая совсем уж ни в какие ворота.
А теперь вспомним, чем математика, по убеждению научного мэйнстрима, отличается от физики. Физика строит модели объективной физической реальности - и потом работает с этими моделями, используя математические методы. А в математике, якобы, не так. Математика сразу работает с формальными объектами, никаких других у неё нет. Поэтому и не стоит в математике вопрос об адекватности модели реальности... ибо нет никакой реальности... только модель без ничего, "ведро воды без ведра", по меткому выражению братьев Стругацких.
Но мы только что видели, что это не так! И главное нам сейчас - не запутаться в словах. Ибо слово "модель" применительно к мат. логике означает одно (полигон, на котором развёрнута формальная теория), а в естественных науках - совсем другое (грубо говоря, саму эту формальную теорию, которую подогнали под реальность с целью повычислять и попредсказывать). Так вот, выражаясь в терминах естественных наук, у математики есть объект, есть реальность, которую она изучает, путем создания моделей. Сейчас не будем задаваться вопросом об объективности этой реальности. Кто-то и в объективную физическую реальность не верует. Кто-то верует в физическую, но отвергнет математическую. Я признаю обе. Есть "настоящие, реальные множества". "Множества-для-себя, как-они-суть". И есть модель (не в смысле теории моделей, а в смысле естественных наук) этой реальности - аксиоматика Цермело-Френкеля. Она грубая и неточная (как объясняет нам теорема Левенгейма-Сколема). Но худо-бедно она работает.
То есть математика, по сути, есть наука естественная. Пусть её объекты имеют идеальный характер, их связывает с их моделями те же отношения, что и физические объекты - с физическими моделями.
Таким образом, всемирный заговор контрреализма прошу считать разоблачённым.
_______________
1Сразу замечу на всякий случай, что отказ от аксиомы выбора (Цермело) и переход на конструктивистские рельсы ничему не помогает: теория как ложилась под Левенберга-Сколема, так и продолжает ложиться. Ожесточенная дискуссия вокруг математического конструктивизма к этой проблематике не имеет никакого отношения.
Теорема Левенгейма-Сколема - один из щелчков по носу, который Создатель припас для оптимистов-рационалистов. Это "отрезвляющий" результат из области математической логики (наряду с теоремами Гёделя), ставящий определённый предел возможностям формализованного рассудка. Согласно теореме, всякая выполнимая (т.е. такая, которая реализуется хоть одной моделью) теория первого порядка со счётной базой имеет и счетную модель (в добавок к той, которая есть по определению выполнимости). Само по себе это не очень страшно, неприятным является применение этой теоремы к аксиоматике Цермело-Френкеля теории множеств. Эта теория как раз первого порядка (кванторы связывают только атомы и не связывают предикаты), выполнимая (ибо "обычные" математические множества как раз являются "намеренной" моделью этой теории) и, следовательно, есть у неё не более чем счетная модель, элементы которой "по всем параметрам" ведут себя как математические множества. За исключением того, что их не более чем счетное число (не больше, чем натуральных чисел - и меньше, чем чисел вещественных, таких как пи или корень из двух)1.
Я причинил вам боль, мои дамы и господа? Но ведь это лучше, чем писать про пуссирайот, правда?
Теорема Левенгейма-Сколема рвёт шаблон тем, что показывает, насколько те аксиоматические, формальные построения, которыми математик оперирует, доказывая свои профильные теоремы и решая задачи, не соответствуют "настоящей математической реальности". И, о чудо, начинает просматриваться, проступать эта самая реальность! "Настоящие множества", отличные от тех, которые мы препарируем с помощью аксиоматики Цермело-Френкеля, бывают несчетными, таким образом и самих их несчетная прорва-прорвущая. Мы ни за что не спутаем их с элементами той самой суррогатной, "ненамеренной" счётной модели, существование которой гарантируют Сколем и названный братец его Левенхайм.
Как работает математика? Она работает вот как. Сначала математик-творец абстракций придумывает новый математический объект, будь то модуль над полупростым кольцом или алгебру Ли. И это - акт чудотворный, ибо здесь математик ещё имеет дело с настоящей математической реальностью. Но сделать с этой реальностью ничего нельзя, ибо нечем и никак. И тогда математик переходит от этой реальности к формальным определениям (алгеброй Ли называем бла-бла-бла, удовлетворяющее бла-бла-бла, перечисляет несколько условий). В большинстве случаев эта операция позволяет удерживать перед мысленным взором исходный объект, щупать его лучом интуиции, переводя свои прозрения на язык формального вывода следствий из аксиом, а они, в свою очередь, подсобляют процессу, математик задействует вычислительную мощь аксиоматического аппарата, временами осуществляет логический вывод согласно формальным правилам, уже погасив за ненадобностью интуицию. И возникает даже иллюзия того, что, работая с логической теорией, математик работает с самим своим объектом. Но это не так, и спасибо Сколему, что прояснил. Очень полезно знать, что ежовые рукавицы аксиоматики схватывают математический объект не плотно, с зазорами. Не могут ухватить только ту теорию множеств, которую мы знаем интуитивно, ухватывают вместе с ней "мусор": ненамеренные модели, в том числе и ту дикую, невозможную, счётную, которая совсем уж ни в какие ворота.
А теперь вспомним, чем математика, по убеждению научного мэйнстрима, отличается от физики. Физика строит модели объективной физической реальности - и потом работает с этими моделями, используя математические методы. А в математике, якобы, не так. Математика сразу работает с формальными объектами, никаких других у неё нет. Поэтому и не стоит в математике вопрос об адекватности модели реальности... ибо нет никакой реальности... только модель без ничего, "ведро воды без ведра", по меткому выражению братьев Стругацких.
Но мы только что видели, что это не так! И главное нам сейчас - не запутаться в словах. Ибо слово "модель" применительно к мат. логике означает одно (полигон, на котором развёрнута формальная теория), а в естественных науках - совсем другое (грубо говоря, саму эту формальную теорию, которую подогнали под реальность с целью повычислять и попредсказывать). Так вот, выражаясь в терминах естественных наук, у математики есть объект, есть реальность, которую она изучает, путем создания моделей. Сейчас не будем задаваться вопросом об объективности этой реальности. Кто-то и в объективную физическую реальность не верует. Кто-то верует в физическую, но отвергнет математическую. Я признаю обе. Есть "настоящие, реальные множества". "Множества-для-себя, как-они-суть". И есть модель (не в смысле теории моделей, а в смысле естественных наук) этой реальности - аксиоматика Цермело-Френкеля. Она грубая и неточная (как объясняет нам теорема Левенгейма-Сколема). Но худо-бедно она работает.
То есть математика, по сути, есть наука естественная. Пусть её объекты имеют идеальный характер, их связывает с их моделями те же отношения, что и физические объекты - с физическими моделями.
Таким образом, всемирный заговор контрреализма прошу считать разоблачённым.
_______________
1Сразу замечу на всякий случай, что отказ от аксиомы выбора (Цермело) и переход на конструктивистские рельсы ничему не помогает: теория как ложилась под Левенберга-Сколема, так и продолжает ложиться. Ожесточенная дискуссия вокруг математического конструктивизма к этой проблематике не имеет никакого отношения.