Еще о теореме Байеса: задачка Монти Холла

[scholar_vit]

В комментариях к предыдущей записи cheeha напомнила классическую задачку Монти Холла. Я хочу показать, что байесовское решение не только проще классического, но и позволяет увидеть неявное допущение в последнем.

Итак, перед нами три двери. За одной приз, две другие пусты. Вы

Comments

[agasfer]

А откуда игрок знает, ленив ведущий, или нет? Если он это знает, то это уже как игра Смока Белью в рулетку.

[scholar_vit]

А почему игра Смока Беллью не должна описываться теорией вероятности?

[agasfer]

Вы роман забыли? Смок заметил, что колесо рассохлось т к стол с рулеткой стоял слишком близко к печке. Поэтому, определенные позиции были более выйгрышными, чем другие. Игрок, севший за такой стол впервые, этого не знает, поэтому думает, что имеет дело с теорией вероятности, или везением.

Если ведущий ленивый, кстати, он может всегда класть приз за дверь А, что тоже может быть замечено.

[scholar_vit]

Я прекрасно помню Джека Лондона. Повторяю вопрос: почему Вы думаете, что теория вероятностей описывает только равновероятные события? Описывает ли теория вероятностей ситуацию, когда определенные номера выпадают чаще, чем другие?

[m61]

А что подразумевается под "обычным" решением? А то самое простое решение, известное мне, заключается в следующем соображении: так как ведущий _всегда_ открывает дверь, за которой нет приза - то, очевидно, упрямец, который не пожелает изменить на втором этапе свой первоначальный выбор, может выиграть, только если он изначально выбрал правильную дверь. А вероятность этого равна 1/3, разумеется. Следовательно, изменяя на втором этапе свой выбор - он выигрывает с вероятностью 2/3.

По-моему, это решение явно проще. Но, конечно, выигрывая в простоте - проигрываем в глубине.

Схожая задачка, которая проще решается от предположения, что первым своим ходом "игрок" достигает поставленной цели - это известная задачка про круговую дуэль.

[scholar_vit]

Это и есть один из вариантов обычного решения. Интересное упражнение: проанализировать его в случае, когда стратегия ведущего известна.

[scholar_vit]

Что касается простоты - то см. предыдущую запись. "Обычное" решение проще изложить, но додуматься до него как раз сложнее. Байесовское решение проще в том смысле, что получается автоматическим применением стандартного алгоритма, а не рассуждениями ad hoc. Вместо паззла - задачка группы А. Ну в крайнем случае Б.

[egh0st]

[efimpp]

почему-то формулировка задачки не упоминает, что ведущий всегда предлагает меняться (или, точнее, делает это независимо от первого выбора игрока)

[darth_vasya]

Для байесианского решения условие про "всегда" не требуется, потому что субъективная вероятность не нуждается в предельном переходе к "бесконечному числу повторений".

[efimpp]

не понял ....
а если ведущий предлагает поменять только когда игрок выбрал правильно?

[darth_vasya]

Если это откуда-то нам известно, тогда байесианское решение меняется с учётом этой информации. Когда у нас нет такой информации, то и никакого "а если".

Приведённое в посте решение верно (точнее - оптимально) даже в том случае, если в игру никогда раньше не играли и никогда больше не будут играть.